数值分析
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课程评价
spContent=数值分析课程主要研究使用计算机求解各种数学问题的方法、理论分析及其软件的实现,是科学工程计算的重要理论支撑。它既有纯粹数学的高度抽象性和严密科学性,又有着具体应用的广泛性和实际实验的技术性,是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。
—— 课程团队
课程概述

诺贝尔奖获得者,计算物理学家威尔逊提出了现代科学研究的三大支柱:理论研究,科学实验和科学计算。如果说伽利略和牛顿在科学发展史上奠定了实验和理论这两大科学支柱,那么由冯.诺依曼研制的电子计算机就使科学计算成为现代科学研究的另一支柱。如今,科学计算在生命科学、医学、系统科学、经济学等现代科学中起的作用日益凸显,已经成为气象、石油勘探、核能技术、航空航天、交通运输、机械制造、水利建筑等重要工程领域中不可缺少的工具。数值分析应运而生,它是研究使用计算机求解各种数学问题的方法、理论及其软件实现的一个数学分支,是科学工程计算的重要理论支撑。它既有纯粹数学的高度抽象性和严密科学性,又有着具体应用的广泛性和实际实验的技术性,是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。

    非线性方程求根、线性方程组的求解、数据的插值与拟合、数值积分和微分以及微分方程数值解法,这些内容构成了数值分析课程的主体。通讯卫星覆盖地球面积的估算,天体力学中开普勒方程的近似求解,生物信息学中蛋白质结构比对和预测问题,大量实际问题的解决离不开数值分析做出的贡献。在信息技术迅猛发展的“互联网+”时代,数值分析的学习将带你打开眼界,进入一片崭新的天地!

  本课程中需要应用高等数学、线性代数等先修课程的知识,而该课程的研究结果既能直接应用于一些工程实际问题,也是学习偏微分方程数值解法等后续课程和从事专业技术工作必需的基础。着重培养学生应用基本理论以及解决实际工程问题并进行分析与计算的能力。


授课目标
通过掌握和了解常用的数值分析方法的基本思想与理论依据,使学生学会在计算机上使用这些方法解决实际问题,进行相应的误差分析,为学生在理论学习以及结合计算机解决实际问题等方面打下良好的基础,同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高学生的数学推理能力。
课程大纲

1.  概论

   1.1  数值分析研究的对象和内容;

   1.2  误差基本知识;

   1.3  数值方法中应注意的事项。

2.  解线性方程组的直接方法 

   2.1  Gauss消去法;

   2.2  直接三角分解方法;

   2.3  平方根法;

   2.4  求解三对角方程组的追赶法;

   2.5  向量和矩阵的范数;

   2.6  矩阵的条件数和方程组的固有性态;

   2.7  误差分析;

   2.8  近似解的迭代改善。

3.  解线性方程组的迭代方法

   3.1    Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法;

   3.2    迭代法的一般形式和收敛性;

   3.3    SOR迭代法。

4.  解非线性方程()的迭代法

   4.1    二分法;

   4.2    简单迭代法;

   4.3    Newton迭代法;

   4.4    解非线性方程组的迭代法。

5.  插值与逼近

   5.1  插值多项式的存在唯一性;

   5.2  Lagrange插值多项式;

   5.3  差商与Newton插值多项式;

   5.4  分段插值多项式;

   5.5  三次样条插值;

   5.6  数据拟合的最小二乘法。

6.  数值积分

   6.1  插值型求积公式;

   6.2  求积公式的一般形式及其代数精度;

   6.3  复化求积公式;  

   6.4  外推算法;  

   6.5  Gauss型求积公式; 

   6.6  数值微分。

7.  常微分方程数值方法

   7.1 构造数值方法的基本思想;   

   7.2  Euler方法和改进的Euler方法;  

   7.3  差分公式的误差分析;   

   7.4  Runger-Kutta方法;

   7.5  单步法的稳定性和收敛性; 

   7.6  线性多步方法;  

   7.7  常微分方程组和高阶方程的数值方法; 

   7.8  边值问题的数值方法。

 

三、教学安排及方式

总学时     48         学时,讲课 48  学时,实验    学时。

学时分配表:


教学环节

 

教学时数

 

课程内容

讲课

实验

习题课

讨论课

上机

参观或看录像

小计

概论

2

 

 

 

 

 

2

解线性方程组的直接方法

5

 

 

 

 

 

5

解线性方程组的迭代方法

8

 

 

 


 

8

解非线性方程()的迭代法

6

 

 

 

 

 

6

矩阵的特征值与特征向量的计算

0

 

 

 

 

 

0

插值与逼近

11

 

 

 


 

11

数值积分

7

 

 

 

 

 

7

常微分方程数值方法

9

 

 

 

 

 

9

         

48

 

 

 


 

48

四、课程教学的有关说明

本课程内外学时比例:    488         ;平均周学时: 4             

可对下述有关情况做出说明:

1、  本课程自学内容及学时:偏微分方程差分方法,10学时

2、  课内习题课的安排及学时

3、  利用现代化教学手段内容及演进:采用电子教案

4、  对学生能力培养的要求


预备知识

高等数学、线性代数

证书要求

单元作业占30%;

期中测试占20%;

期末测试占50%;

按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。


参考资料

教材:

数值分析,张铁,阎家斌,冶金工业出版社,2007年

参考资料:

数值分析(上、下), 黄明游,冯果忱, 高等教育出版社,2010

应用数值分析(改编版)(第7版)[美] 杰拉尔德Gerald G.F. 著;白峰杉 编,高等教育出版社,2010

数值方法的设计、分析和算法实现:[美] 安妮·戈林鲍姆,[美] 蒂莫西 P.夏蒂埃 著;吴兆金王国英范红军 译,机械工业出版社