东北大学

高等数学(一)

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课程概述


高等数学课程是理工科院校理、工、管等各专业的一门必修的基础课,工具课,它以高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性为其基本特征。

高等数学课程以极限理论为主线,阐述一元微积分、多元微积分与常微分方程的全部内容,辅以空间解析几何、级数的基本知识,构成完整的知识体系。高等数学分为高等数学(一)和高等数学(二)。高等数学(一)包括:极限与连续;导数与微分;微分中值定理与导数的应用;积分及其应用和无穷级数。

       在高等数学教学中突出数学思想的来龙去脉,揭示数学概念和公式的实际来源与应用。在传授数学知识的同时,使学生了解问题产生的背景,教他们学会数学的思想方法,领会数学的精神实质;强化学生的数学应用的意识和能力,培养学生的创新思想和能力。


授课目标
讲授高等数学的基本概念、基本理论与基本方法,为学习后继课程打下必要的基础。训练学生的数学思维方法与创新能力;培养学生的数学素质与科学态度, 以适应21世纪科学发展的要求。
证书要求

单元作业占20%;

单元测验占30%;

期末考试占50%;

按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。


预备知识

初等数学

授课大纲

0     引言

1 极限与连续

1.1   函数

1.2   数列的极限

    1.2.1数列极限的定义

    1.2.2数列极限的性质

1.3  函数的极限

1.3.1函数极限的定义和性质

1.3.2无穷小与无穷大

1.4 极限的运算法则

1.4.1 极限的运算法则()

1.4.2  极限的运算法则()

1.5 极限存在准则  两个重要极限

1.5.1极限存在准则

1.5.2两个重要极限

1.6  无穷小的比较

1.7  函数的连续性

   1.7.1函数的连续性

   1.7.2函数的间断点

   1.7.3连续函数的运算

1.8 闭区间上连续函数的性质

2  导数与微分

2.1 导数 

      2.1.1 导数的概念

   2.1.2 导数的性质

2.2 函数的求导法则

      2.2.1 函数求导法则

      2.2.2 高阶导数

      2.2.3 隐函数的导数

      2.2.4 参数方程确定的函数导数

      2.2.5 相关变化率

2.3 微分

3 微分中值定理及导数的应用

 3.1 微分中值定理

     3.1.1 Roll定理

     3.1.2 Lagrange定理

     3.1.3 Cauchy定理

 3.2 Taylor公式

       3.2.1 Taylor公式

       3.2.2 几个常见的麦克劳林公式

 3.3 洛必达法则

       3.3.1未定式

       3.3.2 其它未定式

 3.4  函数的单调性与极值

       3.4.1 函数的单调性

       3.4.2 函数的极值

       3.4.3 函数的最值

 3.5 曲线的凹凸性与拐点

      3.5.1 函数曲线的凹凸性

      3.5.2 函数曲线的拐点

 3.6 函数图像的描绘

 3.7 曲率

       3.7.1 函数曲线的弧微分

        3.7.2 曲率与曲率半径

4 积分及其应用

4.1 不定积分

      4.1.1 原函数与不定积分的概念

      4.1.2 第一类换元法(凑微分)

      4.1.3 第二类换元法

      4.1.4 分部积分

    4.1.5 有理函数的积分

4.2 定积分的概念与性质

4.2.1 定积分的概念

4.2.2定积分的性质

4.3 微积分基本公式

4.4 定积分的计算

     4.4.1 定积分的计算-换元积分法

     4.4.2 定积分的计算-分部积分法

     4.4.3 定积分计算中常用的结论

     4.4.4 经典例题选讲

4.5 反常积分

      4.5.1 含无穷积分限的反常积分

      4.5.2 无界函数的反常积分-瑕积分

4.6 定积分的几何应用

   4.6.1  定积分的几何应用()

      4.6.2  定积分的几何应用()

      4.6.3  定积分的几何应用()

4.7  定积分的物理应用

5 无穷级数

5.1 常数项级数的概念和性质

       5.1.1 常数项级数的概念

       5.1.2 收敛级数的基本性质

5.2 正项级数的审敛法

      5.2.1 正项级数()

      5.2.2 正项级数()

5.3 任意项级数

5.4 幂级数

5.4.1 幂级数及收敛域

5.4.2 幂级数的运算

5.5 函数展开成幂级数

   5.5.1 函数展开成幂级数

   5.5.2 函数幂级数展开式的应用

5.6  Fourier级数

    5.6.1 Fourier级数

    5.6.2 周期延拓、奇延拓与偶延拓


参考资料

教材

东北大学高等数学课程组.《高等数学》(上册), 北京:高等教育出版社, 2016待出版.  

 

主要参考书

1. 车向凯等《高等数学》(上册),北京:高等教育出版社,2005.

2. 同济大学数学系.《高等数学》(上册)(7),北京:高等教育出版社,2014.

3. 王绵森,马知恩.《工科数学分析基础》(上册)(2),北京:高等教育出版社,2006. 

4. James S.Calculus》, 北京:高等教育出版社, 2004.

5. Adrian Banner 著,赵爽等译.《普林斯顿微积分读本》北京:人民邮电出版社,2010.