复变函数与积分变换
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spContent=本课程通过介绍单复变函数的基础内容,以及建立在复变函数理论之上的积分变换知识,为学生学习电力工程、通信和控制、信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等方面的后续课程做好数学工具的准备。
—— 课程团队
课程概述

    复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题,作为流体力学和电动力学中最重要的一种向量场的特征, 具有鲜明的物理背景. 复变函数理论一直伴随着科学技术的发展,从中汲取养分,并为之提供方法和工具,促进工程技术学科的迅速发展.  建立在复变函数理论之上的积分变换方法,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系. 它既能简化计算,又具有明确的物理意义,在许多领域被广泛地应用,如电力工程、通信和控制领域、信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等方面以及其他许多数学、物理和工程技术领域.而在此基础上发展起来的离散形式的变换在计算机时代更是特别重要.



课程大纲

第一章 复变函数与解析函数

第一章 复变函数与解析函数(单元测试)

1.复数的概念、复数的四则运算

2.复平面与复数的表示法、复球面与无穷远点

3.乘幂与方根

4.区域

5.Jordan曲线、连通性

6.连续函数

7.复变函数的导数

8.解析函数

9.函数可导的充要条件

10.初等解析函数

第一章 复变函数与解析函数(单元作业)

第二章  复变函数的积分

第二章 复变函数的积分(单元测验)

11.积分的概念、积分存在的条件及积分的性质

12.Cauchy积分定理

13.复合闭路定理

14.Cauchy积分公式

15.Cauchy导数公式

16.解析函数的原函数

第二章 复变函数的积分(单元作业)

第三章  复变函数的级数

第三章 复变函数的级数(单元测验)

17.复数列的极限、复数项级数

18.幂级数的概念

19.幂级数的性质

20.Taylor级数展开定理

21.Taylor级数展开的唯一性

22.函数的零点

23.Laurent级数的概念

24.Laurent级数的展开

25.调和函数

第三章 复变函数的级数(单元作业)

第四章  留数及其应用

第四章 留数及其应用(单元测验)

26.孤立奇点

27.留数的一般理论及留数的计算

28.极点留数的计算

29.三角有理式的积分

30.有理函数的无穷积分

31.有理函数与三角函数乘积的积分

第四章 留数及其应用(单元作业)

第五章  保角映射

32.映射的概念、导数的几何意义

33.保角映射的概念、关于保角映射的一般理论

34.分式线性映射的基本性质

35.唯一确定分式线性映射的条件

36.幂函数构成的映射

37.指数函数和对数函数构成的映射

第六章 积分变换的预备知识

38.几个典型函数

39.卷积的概念与性质

第七章 Fourier变换

第六章和第七章(单元测验)

40.Fourier变换的定义

41.Fourier变换的性质(一)

42.Fourier变换的性质(二)

43.Dirac函数的Fourier变换

44.离散Fourier变换及其性质

45.快速Fourier变换

第七章 Fourier变换(单元作业)

第八章 Laplace变换

第八章 Laplace变换(单元测试)

46.Laplace变换的定义

47.周期函数和Dirac函数的Laplace变换

48.Laplace变换的性质(一)

49.Laplace变换的性质(二)

50.卷积定理

51.Laplace逆变换

52.Laplace变换的应用

第八章 Laplace变换(单元作业)

预备知识

高等数学、线性代数

证书要求

单元作业占70%;

单元测验占20%;

期末考试占10%;

按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。


参考资料

教材:宋叔尼等复变函数与积分变换(第二版),北京:科学出版社2017


    主要教学参考书

1. 余家荣复变函数(第四版)北京高等教育出版社2007

2. 西交大,工程数学—复变函数()北京高等教育出版社1996

3. 祝同江工程数学—积分变换(第二版)北京高等教育出版社2001

4. 华中科大,复变函数与积分变换(第二版)北京高等教育出版社2003

5. L. DebnathD. BhattaIntegral Transforms and Their Applications(2th Edition)Taylor & Francis Group, LLC2007

    6. B. DaviesIntegral Transforms and Their Applications(3th Edition)Springer- Verlag2002