东北大学

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课程概述

    复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题,作为流体力学和电动力学中最重要的一种向量场的特征, 具有鲜明的物理背景. 复变函数理论一直伴随着科学技术的发展,从中汲取养分,并为之提供方法和工具,促进工程技术学科的迅速发展.  建立在复变函数理论之上的积分变换方法,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系. 它既能简化计算,又具有明确的物理意义,在许多领域被广泛地应用,如电力工程、通信和控制领域、信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等方面以及其他许多数学、物理和工程技术领域.而在此基础上发展起来的离散形式的变换在计算机时代更是特别重要.



证书要求

单元作业占20%;

单元测验占30%;

期末考试占50%;

按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。


预备知识

高等数学、线性代数

授课大纲

第一章  复变函数与解析函数

1.复数的概念、复数的四则运算

§1.1  复数

2.复平面与复数的表示法、复球面与无穷远点

 

3.乘幂与方根

 

4.区域

§1.2  平面点集

5.Jordan曲线、连通性

 

6.连续函数

§1.3  连续函数

7.复变函数的导数

§1.4  解析函数

8.解析函数

 

9.函数可导的充要条件

§1.5  函数可导的充要条件

10.初等解析函数

§1.6  初等解析函数


了解复数的运算及各种表示法;

复变函数以及映射的概念,理解复变函数的导数以及解析函数的概念;

掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。熟练掌握函数可导与解析的判别法,掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程;

熟悉复变初等函数,了解它们的主要性质。


第二章  复变函数的积分

11.积分的概念、积分存在的条件及积分的性质

§2.1  复变函数的积分

12.Cauchy积分定理

§2.2  Cauchy积分定理

13.复合闭路定理

 

14.Cauchy积分公式

§2.3  Cauchy积分公式

15.Cauchy导数公式

 

16.解析函数的原函数

§2.4  解析函数的原函数


了解复变函数积分定义,掌握复积分计算的一般方法;

掌握复合闭路原理,熟练掌握Cauchy积分公式及高阶导数公式,

了解变上限函数的性质,复不定积分与原函数的概念,牛顿莱不尼茨公式。


第三章  复变函数的级数

17.复数列的极限、复数项级数

§3.1  复数项级数

18.幂级数的概念

§3.2  幂级数

19.幂级数的性质

 

20.Taylor级数展开定理

§3.3  Taylor级数

21.Taylor级数展开的唯一性

 

22.函数的零点

 

23.Laurent级数的概念

§3.4  Laurent级数

24.Laurent级数的展开

 

25.调和函数

§3.5  调和函数


了解复数列的极限概念,熟悉复数列收敛的充分必要条件;

了解级数理论、级数的性质,理解阿贝尔定理,掌握收敛半径的求法;

理解Taylor展开定理,掌握函数展开成Taylor级数的方法;

了解平面调和函数理论,掌握共轭调和函数的求法。

掌握Laurent级数的概念、性质,理解Laurent展开定理,能比较熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内展开成Laurent级数。


第四章  留数及其应用

26.孤立奇点

§4.1  孤立奇点

27.留数的一般理论及留数的计算

§4.2  留数的一般理论

28.极点留数的计算

 

29.三角有理式的积分

§4.3  留数的应用


理解孤立奇点的概念及其分类;熟悉零点与极点的关系;

理解留数的概念,掌握计算留数的一般方法,熟练掌握极点处留数的求法;

掌握利用留数定理计算闭路积分的方法;

熟练掌握应用留数计算实积分。


第六章 积分变换的预备知识

38.几个典型函数

§ 6.1 几个典型函数

39.卷积的概念与性质

§ 6.2 卷积的概念与性质


第七章 Fourier变换

40.Fourier变换的定义

§ 7.1 Fourier变换概念与性质

41.Fourier变换的性质()

 

42.Fourier变换的性质()

 

43.Dirac函数的Fourier变换

 

44.离散Fourier变换及其性质

§ 7.2 离散Fourier变换概念与性质


了解Fourier积分定理,理解Fourier变换及其逆变换的概念;

理解广义函数的概念和性质, 掌握Fourier变换的线性、位移、积分以及微分性质,熟练运用Fourier变换的性质求函数的傅氏变换及其逆变换;

理解卷积的概念,掌握并能运用卷积定理。


第八章 Laplace变换

46.Laplace变换的定义

§ 8.1 Laplace变换的概念

47.周期函数和Dirac函数的Laplace变换

 

48.Laplace变换的性质()

§ 8.2 Laplace变换的性质

49.Laplace变换的性质()

 

50.卷积定理

 

51.Laplace逆变换

§ 8.3 Laplace变换

52.Laplace变换的应用

§ 8.4 Laplace变换的应用.


理解Laplace变换及其逆变换的概念,Laplace变换的存在定理。

掌握Laplace变换的线性、相似、积分、位移等性质,熟练运用Laplace变换的性质求函数的Laplace变换及其逆变换。

熟练掌握常系数线性微分方程(组)的Laplace变换解法。

参考资料

教材:宋叔尼等复变函数与积分变换,北京:科学出版社2006


    主要教学参考书

1. 余家荣复变函数(第四版)北京高等教育出版社2007

2. 西交大,工程数学—复变函数()北京高等教育出版社1996

3. 祝同江工程数学—积分变换(第二版)北京高等教育出版社2001

4. 华中科大,复变函数与积分变换(第二版)北京高等教育出版社2003

5. L. DebnathD. BhattaIntegral Transforms and Their Applications(2th Edition)Taylor & Francis Group, LLC2007

    6. B. DaviesIntegral Transforms and Their Applications(3th Edition)Springer- Verlag2002