东北大学

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课程概述

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程,它的基本概念、理论和方法具有较强的抽象性、逻辑性和广泛的适用性,是理、工、经、管等各专业的重要的数学基础课程。随着计算机的迅速发展,科学计算在工程技术中的重要性日益突出,线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,许多实际问题也可以直接的或通过离散化、线性化等转化成为线性方程组问题或矩阵问题,用矩阵方法解决实际问题已渗透到众多领域,因此,线性代数已经成为自然科学,经济科学和工程技术领域中广泛应用的数学工具,其理论和方法得到了广泛的应用。尤其在信息科学日益发展的时代,该课程的地位与作用更显得重要。

本课程为专业基础课.主要内容是:行列式,矩阵及其运算,向量组的线性相关性,线性方程组,线性空间与线性变换、矩阵的特征值与特征向量二次型。

授课目标
通过该课程的学习,使学生掌握线性代数的基本理论与方法,培养学生的科学计算能力,提高学生的逻辑思维和推理能力,为进一步扩大数学知识面及学习相关课程理论奠定必要的基础。
证书要求

单元作业占20%;

单元测验占30%;

期末考试占50%;

按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

初等数学基础

授课大纲

第一讲 行列式
1.1 了解二、三阶行列式。
1.2 了解行列式的定义。
1.3 掌握行列式的性质。
1.4 会用行列式的性质计算行列式。
1.5 了解Cramer法则。
第二讲  矩阵
2.1理解矩阵的概念.了解单位矩阵,对角矩阵,对称矩阵及其性质。
2.2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律,了解方阵乘积的行列式。
2.3理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,掌握逆矩阵存在的条件和用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
2.4了解矩阵的初等变换和矩阵等价的概念。
2.5了解初等矩阵的概念及性质,掌握用初等变换求逆矩阵的方法。
2.6 理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩。
第三讲  向量  线性关系  秩
3.1理解n维向量的概念,掌握向量的线性运算、内积、长度、夹角及正交的概念。
3.2理解向量的线性组合、向量组线性相关性及正交向量组的概念。
3.3了解有关向量组线性相关、线性无关的某些重要结论。
3.4 掌握将线性无关向量组正交化的施密特正交化过程。
3.5了解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念。
3.6会求向量组的极大无关组与秩。
3.7了解向量组的秩与矩阵秩的关系。
第四讲  线性方程组
4.1掌握线性方程组的消元解法。
4.2了解方程组等价的概念。
4.3掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。
4.4理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念。
4.5了解非齐次线性方程组的解的结构。
4.6掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
4.7 了解向量空间及其子空间的概念.
4.8 了解向量空间基、维数、坐标的概念;
4.9 了解两组基的过渡矩阵的概念,会用基变换和坐标变换公式。
第五讲 矩阵的特征值与特征向量
5.1理解矩阵的特征值与特征向量的概念。
5.2掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法及特征值、特征向量的性质。
5.3了解相似变换、相似矩阵的概念。
5.4了解矩阵对角化的充要条件。
5.5了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。
5.6掌握求实对称矩阵的相似对角矩阵的方法。
第六讲 二次型
6.1了解二次型及其秩的概念,掌握二次型的矩阵表示。
6.2了解合同变换和合同矩阵的概念。
6.3 会用配方法化二次型为标准形。
6.4 掌握用正交变换法化二次型为标准型的方法。
6.5 了解二次型的惯性指数的概念及惯性定理。
6.6了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。
第七讲 线性空间与线性变换
7.1 掌握线性空间的概念。
7.2 了解子空间、基、维数和坐标的概念。
7.3 掌握过渡矩阵及基变换和坐标变换。
7.4了解线性变换的概念及其性质。
7.5会求线性变换在一组基下的矩阵。
7.6掌握内积与Euclid空间的概念,会求Euclid空间的规范正交基。

参考资料

教材:

 宋叔尼、阎家斌、陆小军编著,《线性代数及其应用》,高等教育出版社,2014

参考资料:

[1] 同济大学数学系编,《工程数学线性代数》,高等教育出版社,2007
[2] 王长群,《线性代数学习指导》,郑州大学出版社,2004
[3] 上海交通大学线性代数编写组编,《线性代数》,高等教育出版社,1998
[4] Lay ,David C. 《Liner Algebra and Its Applications》,Publishing House of Elecronics Industry,2007
[5] Axler Sheldon.《Liner Algebra Done Right》,Publishing House of Elecronics Industry,2009