华北水利水电大学

高等数学

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课程概述

高等数学是高等院校的一门重要的基础课程,它对培养学生的数学素养、数学能力和运用数学理论解决实际问题具有重要的作用,也是后续专业课程学习的知识基础、思想基础和方法基础。学习高等数学额,不仅是为了以后的工作需要储备数学知识,提高基本的数学素质和数学能力,学会应用数学解决实际问题,更是为了在今后工作中能够创造出新的知识和方法。


授课目标
通过本课程的学习,使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念,掌握基本的运算技巧;使学生能用所学的知识去解决实际问题;使学生具有一定的数学素养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力,会用适当数学语言描述和分析问题,加强逻辑思维能力的培养,为以后学习其它学科打下良好的基础。
证书要求

按百分制计分,60分至84分为及格,85分至100分为优秀。

评分方案:

1.       完成单元测试题60%

2.       期末考试占40%


预备知识

高中阶段必修高中代数、几何等初等数学,学生应具备基本的计算和证明能力。学习高等数学A(2)课程需先完成高等数学A(1)课程。


授课大纲

了解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解等概念;掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法;会解齐次方程、贝努利方程和全微分方程;会用降阶法解简单的高阶方程;理解线性微分方程解的性质及其结构;掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高阶常系数齐次线性微分方程,会解欧拉方程;会用微分方程解决一些简单应用问题。理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示;掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直、平行的条件;理解单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法;掌握平面的一般方程、点法式方程、截距式方程和直线的一般方程、对称式方程、参数方程的求法及相互转换,会利用平面、直线的相互关系解决有关问题;了解曲面方程与空间曲线方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;会求点到直线、点到平面的距离;理解空间曲线的参数方程和一般方程;了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程。

    理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义;了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质;理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性;理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法;掌握多元复合函数一阶偏导数、二阶偏导数的求法;了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的一阶和二阶偏导数;了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念,会求它们的方程;了解二元函数的泰勒公式,理解多元函数极值和条件极值的概念,会求二元函数的极值;会用拉格朗日乘数法求条件极值,会解决一些简单的应用问题。

    理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质;掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。会求曲面的面积。了解质心、转动惯量、引力的求法。

理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系;掌握计算两类曲线积分的方法;掌握格林公式,会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数;了解两类曲面积分的概念、性质、两类曲面积分的关系及高斯公式、斯托克斯公式,会计算两类曲面积分;了解空间曲线积分与路径无关的条件;了解散度、旋度的概念并会计算。会用重积分、曲线积分及曲面积分求某些几何量与物理量。

理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念,掌握收敛级数的基本性质及收敛的必要条件;掌握几何级数和P-级数的收敛与发散的条件;掌握正项级数收敛性的比值判别法、比较判别法,会用根值判别法;会用莱布尼兹定理判别交错级数的收敛性;了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛与收敛的关系;理解幂级数的收敛半径的概念,掌握幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;了解幂级数的和函数在其收敛区间内的基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和;了解函数展开为泰勒级数的充要条件;掌握几个常见的的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数


参考资料

1.       王天泽,高等数学(第一版),北京:科学出版社,2015

2.       同济大学数学系,高等数学(第六版),北京:高等教育出版社,2007

3.       耿堤等,数学分析(第一版),北京:科学出版社,2016