华北水利水电大学

高等数学

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课程概述

高等数学是高等院校的一门重要的基础课程,它对培养学生的数学素养、数学能力和运用数学理论解决实际问题具有重要的作用,也是后续专业课程学习的知识基础、思想基础和方法基础。学习高等数学额,不仅是为了以后的工作需要储备数学知识,提高基本的数学素质和数学能力,学会应用数学解决实际问题,更是为了在今后工作中能够创造出新的知识和方法。

授课目标
通过本课程的学习,使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念,掌握基本的运算技巧;使学生能用所学的知识去解决实际问题;使学生具有一定的数学素养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力,会用适当数学语言描述和分析问题,加强逻辑思维能力的培养,为以后学习其它学科打下良好的基础。
证书要求

按百分制计分,60分至84分为及格,85分至100分为优秀。

评分方案:

  1. 完成单元测试题40%;

  2. 期末考试占60%。

证书:

评分不低于60分颁发普通学员证书;

评分不低于85分颁发优秀学员证书。

预备知识

高中阶段必修高中代数、几何等初等数学,学生应具备基本的计算和证明能力。学习高等数学A(2)课程需先完成高等数学A(1)课程。


授课大纲

、课程简介

高等数学是高等院校的一门重要的基础课程,它对培养学生的数学素养、数学能力和运用数学理论解决实际问题具有重要的作用,也是后续专业课程学习的知识基础、思想基础和方法基础。以微积分为核心的高等数学包含了处理连续量的许多基本理论和科学思维方法,学习高等数学旨在建立微积分基本概念、基本理论和基本方法,构建完整的微积分理论体系架构,展现微积分思想方法;学习高等数学,不仅是为了以后的工作需要储备数学知识,提高基本的数学素质和数学能力,学会应用数学解决实际问题,更是为了在今后工作中能够创造出新的知识和方法。

、知识点及建议计划学时

(一)基本知识点

函数与极限:函数概念,极限的定义,数列极限定义,函数极限定义,判断极限存在的两个准则,两个重要极限,无穷小量及性质,连续函数及性质,12学时;

导数与微分:导数概念,函数求导法则,高阶导数求法,复合函数求导法,对数求导法与指数求导法,隐函数与参数方程的求导法则,函数微分的概念,微分与导数的关系,10学时;

微分中值定理与导数的应用:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,洛必达法则,函数的单调性,极值问题及函数作图,函数的凸性与渐近线,弧微分,14学时;

一元积分学及其应用:定积分的概念与性质,原函数与不定积分,微积分基本定理,换元积分法,分部积分法,有理函数的积分,两类反常积分,定积分的元素法,定积分在几何学上的应用,定积分在物理学上的应用,22学时;

(二)重要知识点

数列的极限;判断极限存在的两个准则;两个重要极限;函数的极限;函数连续;函数求导法则;隐函数与参数方程的求导法则;函数的微分;罗尔定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;洛必达法则;泰勒公式;换元积分法;分部积分法;有理函数的积分。定积分的性质;微积分基本公式;定积分的元素法;定积分在几何学上的应用;定积分在物理学上的应用。

、基本要求

理解函数的概念,了解函数的几种特性,理解复合函数、分段函数的概念,了解反函数的概念;理解极限的概念,掌握极限四则运算法则,会用两个重要极限求极限;了解无穷小、无穷大的概念,会比较无穷小的阶,会用等价无穷小求极限;理解函数连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型;掌握初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质。

理解导数和微分的概念,掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,了解微分运算法则及一阶微分形式不变性;理解高阶导数的概念;会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶和二阶导数;理解罗尔定理和拉格朗日中值定理,了解柯西定理和泰勒定理;理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法;会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点和函数的最大值最小值,能够描绘函数的图形(包括水平渐近线和垂直渐近线);了解曲率和曲率半径的概念。

    掌握微分中值定理,会使用洛必达法则求极限,掌握泰勒公式,并会用公式求初等函数在某点的展开式,理解不定积分和定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的换元法与分部积分法;了解积分上限的函数及其求导定理,掌握牛顿-莱布尼茨公式;了解广义积分的概念;了解有理函数的积分。掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(面积、弧长、体积、引力、压力、功等)。


参考资料
  1. 王天泽,高等数学(第一版),北京:科学出版社,2015

  2. 同济大学数学系,高等数学(第六版),北京:高等教育出版社,2007

  3. 耿堤等,数学分析(第一版),北京:科学出版社,2016