南昌大学

高等数学(一)

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课程概述

    高等数学是一门大学数学公共基础课,是培养学生理性思维的重要载体,它对培养学生的抽象思维能力﹑逻辑推理能力及空间想象能力具有重要的作用。本课程旨在使学生系统地掌握微积分、无穷级数、常微分方程、空间解析几何与向量代数的基本知识,同时,使学生获得较好的运算能力﹑逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象的能力,进而提高学生利用高等数学知识去解决实际问题的能力。本课程也为学习后续课程及进一步获取更多﹑更深的数学知识奠定必要的数学基础。本课程以现代教育理念为指导,以培养高素质创新人才为目标,整合几代高等数学教师的教学经验、教学研究和课程建设成果,积极开展了高等数学课程体系的改革与教学内容的更新,充分发挥了名师、名课、名团队、名教材、名项目的重大作用,举全校之力建设这门高等数学慕课。

     本课程共十二章,以微积分为基本内容,主要介绍了一元函数和多元函数的极限、连续﹑导数﹑微分﹑积分等理论与应用知识;同时还包括无穷级数﹑空间解析几何与向量代数以及微分方程的理论及应用。

     本课程的特色:1. 本课程具有很好的历史基础:2006年以来,它就是国家级精品课程,2012年,教育部立项为国家资源共享建设课程,2016年它被评为首批国家级资源共享课并在教育部爱课程网站继续上线开课,深受广大学子的喜爱构建了中﹑英文版立体化辅助教材,研制了高等数学中文版﹑高等数学英文版﹑数学建模和数学实验等电子课件,建立了高等数学网上练习册和高等数学网上论坛与答疑系统。2.安排一流的师资力量上高等数学慕课,并以先进的教学理念为先导,进行了全方位的教学改革实践。实行分层次教学和分类别指导,把数学建模思想以及最新科研成果融入高等数学教学内容之中。3.以一流的教学理念,一流的师资,一流的教材,一流的教学管理,一流的服务提供给学子,进行线上线下教学咨询﹑答疑及回答考研疑惑等工作。

 

 


授课目标
让学生在高等数学(一)的学习中掌握函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用等知识,通过着重讲授基本概念,基本内容,基本例题、基本习题等基本高等数学理论培养学生的数学素质,全面提高大学生分析问题和解决问题的能力。
证书要求

单元测验占40%, 论坛占40%, 期末考试占20%, 按百分制计分, 60分至79分为合格, 80分至100分为优秀。

单元测验为客观题, 主要考察学习者对课堂内容的掌握情况, 按系统记录的答题情况给分。

论坛表现是指学习者和其它学习者的交流情况, 按回帖数量和质量和在线提问情况得分。


预备知识

高中数学知识作为学习高等数学的起点。

授课大纲

高等数学(一)与高等数学(二)的教学目录(教学安排)

第一章 函数与极限

1. 映射与函数

2. 数列的极限

3. 函数的极限

4. 无穷小与无穷大,极限运算法则

5. 极限存在准则,两个重要极限

6. 无穷小的比较

7. 函数的连续性与间断点

8. 连续函数的运算与初等函数的连续性

       9.闭区间上连续函数的性质

第二章 导数与微分

   10.导数的概念

   11.函数的求导法则

   12.高阶导数,隐函数的求导,参数方程求导

   13.函数微分

第三章 微分中值定理与导数的应用

   14.微分中值定理

   15.洛必达法则

   16.泰勒公式

   17.函数的单调性与曲线的凹凸性

   18.函数的极值与最大值最小值

   19.函数图形的描绘

第四章 不定积分

20.不定积分的概念与性质

   21.不定积分的第一类换元法

   22.不定积分的第二类换元法

   23.分部积分法

   24.有理函数的积分,积分表的使用

第五章 定积分

   26.定积分概念与性质

   27.微积分基本公式

   28.定积分的换元法和分部积分法

   29.反常积分

第六章 定积分的应用

   30.定积分的元素法,求平面图形的面积

   31.求体积、平面曲线的弧长

   32.定积分在物理学上的应用

       第七章 微分方程

   33.微分方程的基本概念,可分离变量的微分方程,齐次方程

   34.一阶线性微分方程

   35.可降阶的微分方程

   36.高阶线性微分方程解的结构

   37.二阶常系数齐次线性微分方程

   38.二阶常系数非齐次线性微分方程

   第八章 空间解析几何与向量代数

   39.向量与其线性运算

   40.数量积,向量积,混合积

   41.曲面方程的概念,旋转曲面,柱面

   42.二次曲面

   43.空间曲线及其方程

   44.平面及其方程

   45.空间直线及其方程

   第九章 多元函数微分法及其应用

   46.多元函数

   47.偏导数

   48.全微分

   49.多元复合函数的求导法则

   50.隐函数的求导公式

   51.多元函数微分学的几何应用

   52.方向导数与梯度

   53.多元函数的极值及其求法

       第十章 重积分

   54.二重积分的概念与性质

    55.二重积分的概念与性质,利用直角坐标计算二重积分

    56.利用极坐标计算二重积分,三重积分的概念

    57.三重积分的计算法

    58.重积分的应用

       第十一章 曲线积分与曲面积分

   59.对弧长的曲线积分

       60.对坐标的曲线积分

   61.格林公式及其应用

   62.对面积的曲面积分

   63.对坐标的曲面积分

   64.高斯公式,斯托克斯公式

    第十二章 无穷级数

   65.常数项级数的概念和性质

   66.正项级数及其审敛法

    67.交错级数及其审敛法,绝对收敛与条件收敛

   68.幂级数

   69.函数展开成幂级数







参考资料

[1] 同济大学数学系编.高等数学,北京,高等教育出版社,2016年。

[2] 朱传喜、范丽君.高等数学,江西高校出版社,2013年。