线性代数
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—— 课程团队
课程概述

    《线性代数》是十九世纪后期发展起来的一个数学分支,这门学科具有深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有着广泛的应用,它是高等院校理工科各专业及经济管理等专业的一门基础必修课。线性方程组的求解、矩阵理论、线性空间以及线性变换理论都是现代科学和技术的重要基础,而行列式是其中不可缺少的研究工具,二次型刻画了几何的特性和需求,本课程主要围绕着上述内容展开。

授课目标
通过本课程的学习,使学生理解线性方程组的求解、矩阵理论、线性空间及线性变换等知识,掌握基本的运算技巧;能用所学的知识去解决实际问题;同时具有一定的数学素养,对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力,会用适当数学语言描述和分析问题,加强逻辑思维能力的培养,为学习其它学科奠定基础。
课程大纲

       1. 开课专业

        适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业,包括物理学、计算机科学与技术、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。

       2. 性质、地位、作用和任务

       《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题,尤其是在计算机日益普及的今天,解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题,因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术及从事科学研究的重要基础和手段,同时也是实现上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。

      3.主要内容、重点及深度

       了解行列式的定义,掌握行列式的性质及其计算。理解矩阵(包括特殊矩阵)、逆矩阵、矩阵的秩的概念。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。理解逆矩阵存在的条件。掌握求逆矩阵的方法。掌握矩阵的初等变换,并会求矩阵的秩。理解n维向量的概念。掌握向量组的线性相关性和线性无关性的定义及其有关重要结论。掌握向量组的极大线性无关组与向量组的秩。了解n维向量空间及其子空间、基、维数等概念。理解克莱姆法则。理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解齐次线性方程组解空间、基础解系、通解等概念。熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。掌握特征值和特征向量的概念及其求解方法。了解矩阵相似的概念以及实对称矩阵与对角阵相似的结论。了解向量的内积及正交矩阵的概念和性质。了解二次型及其矩阵表示,会用配方法及正交变换法化二次型为标准形。了解惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。

      选用课本具体安排

第1章 行列式
1.1 n阶行列式的定义
1.1.1 2阶和3阶行列式的定义
1.1.2 n阶行列式的定义
1.2 行列式的性质和计算
1.2.1 行列式的性质
1.2.2 n阶行列式的展开式
1.2.3 行列式的计算
1.3 Cramer法则
1.4 思考与拓展
习题1
第2章 矩阵
2.1 矩阵的基本概念
2.1.1 几个实例
2.1.2 矩阵的基本概念
2.1.3 一些特殊类型的矩阵
2.2 矩阵的基本运算
2.2.1 矩阵的线性运算
2.2.2 矩阵的乘法及方阵的幂
2.2.3 矩阵的转置
2.3 矩阵的逆
2.3.1 逆矩阵
2.3.2 矩阵方程
2.4 初等变换与初等矩阵
2.4.1 初等变换
2.4.2 初等矩阵
2.5 矩阵的秩
2.6 矩阵的分块
2.6.1 分块矩阵
2.6.2 分块矩阵的初等变换
2.7 思考与拓展
习题2
第3章 线性方程组
3.1 n维向量
3.1.1 n维向量的定义
3.1.2 向量的运算
3.1.3 向量的线性组合与线性表示
3.2 向量的线性相关性
3.2.1 线性方程组初步
3.2.2 线性相关性
3.3 向量组的秩
3.3.1 极大线性无关组
3.3.2 向量组的秩
3.3.3 向量组等价的判定
3.4 线性空间初步
3.4.1 线性空间的定义
3.4.2 线性空间的维数、基与向量的坐标
3.4.3 线性空间的基变换
3.5 线性方程组解的结构与求解
3.5.1 齐次线性方程组解的结构与求解
3.5.2 非齐次线性方程组解的结构与求解
3.5.3 方程组的公共解
3.6 思考与拓展
习题3
第4章 矩阵的特征值与对角化
4.1 矩阵的特征值与特征向量
4.1.1 问题的提出
4.1.2 特征值与特征向量的概念
4.1.3 特征值与特征向量的性质
4.2 相似矩阵与矩阵对角化
4.2.1 相似矩阵及其性质
4.2.2 矩阵相似于对角矩阵的条件
4.3 Euclid空间与正交矩阵
4.3.1 Euclid空间
4.3.2 正交矩阵
4.4 实对称矩阵
4.4.1 实对称矩阵的特征值和特征向量
4.4.2 实对称矩阵的相似对角化
4.5 应用举例
4.6 思考与拓展
习题4
第5章 二次型
5.1 二次型的基本概念
5.1.1 二次型的定义
5.1.2 标准二次型
5.2 化二次型为标准形
5.2.1 配方法
5.2.2 主轴定理
5.3 惯性定理与正定二次型
5.3.1 惯性定理
5.3.2 正定二次型
5.4 双线性函数
5.4.1 线性函数
5.4.2 双线性函数
5.5 思考与拓展
习题5

预备知识

1.集合

1.1集合的定义与记法;

1.2集合的子集;

1.3集合之间的关系(如:包含关系、相等关系、交集、余集、并集等);

1.4集合的幂集(即:集合A的所有子集所构成的集合);

1.5集合的直积(即:

2.非空集合间的映射

2.1两个映射相等;

2.2映射的分类:单射、满射、双射;

3.几何向量的线性运算(加法、数量乘法以及运算法则)

4.数域

5.排列与对换


证书要求

按百分制计分,60分至84分为及格,85分至100分为优秀。

评分方案:

1. 完成单元测试题50%

2. 期末考试占50%



参考资料

1.   《线性代数》王天泽 科学出版社

2.   《线性代数》同济大学  第五、六版

3.    《线性代数》清华大学居于马编写 第二版

4.    《高等代数》 高教出版社  第四版