华中科技大学

复变函数与积分变换

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课程概述

复变函数论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分,它产生于18世纪,并在19世纪得到了全面的发展。欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯、柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等为这门学科的创建与发展做了大量的工作。20世纪初,米塔-列夫勒、庞加莱、阿达马等进一步开拓了复变函数理论的研究领域,为这门学科的发展做出了重要贡献。复变函数理论不仅对数学领域的许多分支产生了重要的影响,而且在其他学科中得到了广泛的应用。

积分变换与复变函数一样,是在实变函数和微积分的基础上发展起来的。积分变换是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换。这里说的积分变换是指傅里叶变换与拉普拉斯变换,它与复变函数有着密切的联系。同样,它的理论与方法不仅在数学的许多分支中,而且在其它自然科学和各种工程技术领域中均有着广泛的应用,它已成为不可缺少的运算工具。

复变函数与积分变换的基本内容已成为理工科很多专业的必修课程。


授课目标
复变函数与积分变换是理工科相关专业的一门重要的基础课程,通过本课程的学习,使学者掌握复变函数的基础理论和方法,重点掌握解析函数、柯西定理与积分公式、留数、共形映射等内容,以及掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质与方法,为有关后续课程的学习奠定必要的数学基础。
证书要求

单元测验占40%,单元作业占20%,期末考试占40%60分至84分为合格,85分至100分为优秀.


预备知识

高等数学.


授课大纲
第一章 1.11.1复数及其表示(一)
1.1复数及其表示(二)
1.1复数及其表示(三)
1.21.2复数的乘幂与方根
1.31.3无穷远点与复球面
1.41.4平面点集的一般概念(一)
1.4平面点集的一般概念(二)
1.51.5复变函数(一)
1.5复变函数(二)
   
第二章2.12.1.1复变函数的导数
2.1.2解析函数的概念
2.1.3解析函数的充要条件(一)
2.1.3解析函数的充要条件(二)
2.22.2解析函数与调和函数(一)
2.2解析函数与调和函数(二)
2.32.3.1指数函数
2.3.2对数函数
2.3.3幂函数
2.3.4三角函数与双曲函数
   
第三章3.13.1复积分的概念
3.23.2柯西积分定理
3.33.3原函数
3.43.4柯西积分公式
3.53.5解析函数的高阶导数
   
第四章4.14.1复数项级数
4.24.2幂级数
4.34.3幂级数的性质
4.44.4泰勒级数
4.54.5洛朗定理
4.64.6洛朗级数的展开
   
第五章5.15.1.1孤立奇点的定义和分类
5.1.2零点与极点的关系
5.25.2.1留数
5.2.2在无穷远点的留数  
5.35.3留数在定积分计算上的应用 
   
第六章6.16.1共形映射的概念
6.26.2共形映射的基本问题
6.36.3.1分式线性映射的一般形式和分解
6.3.2分式线性映射的特性(一)
6.3.2分式线性映射的特性(二)
6.3.3唯一决定分式线性映射的条件
6.3.4两个典型区域间的映射
6.46.4.1几个初等函数构成的映射
6.4.2综合举例
   
第八章8.18.1Fourier变换的概念(一)
8.1Fourier变换的概念(二)
8.28.2单位冲激函数
8.38.3傅立叶变换的性质
8.48.4卷积与卷积定理
   
第九章9.19.1Laplace变换的概念
9.29.2拉氏变换的性质
9.39.3Laplace逆变换
9.49.4Laplace变换的应用


参考资料

复变函数与积分变换(第四版),华中科科技大学数学与统计学院,李红,谢松法 高等教育出版社,2013;

复变函数与积分变换学习辅导与习题全解(第四版),华中科科技大学数学与统计学院,李红,谢松法 高等教育出版,2013.