《线性代数》主要研究线性关系,是理、工、金融等诸学科的一门重要的基础理论课程,是很多后续课程的基础,并具有广泛的应用前景,可以将理论、计算和应用融合在一起,为各个学科领域提供通用的分析问题与解决问题的方法.
本课程特色:
1.以线性方程组为主线,简单易懂,自然引入后续概念。从二元和三元线性方程组的消元法出发,引入最重要的工具——矩阵的初等变换和矩阵的秩,去抽象,由浅入深,讲授线性方程组的消元法、矩阵的初等变换、线性方程组的解的判定定理、矩阵及其运算、行列式、向量组的线性相关性、矩阵的相似对角化和二次型、简单实际应用问题的转化等。
2. 课程视频主题明确,短小精悍。每个视频一个知识点、一种解法、一类证明、一题多解、应用案例、总结对比或综合计算,可支持“哪里不懂点哪里”。还可通过案例导入了解课程后续应用。整个课程直观、生动,更易接受。
课程主题讨论包含计算、应用、拓展阅读等细节,有助于深刻理解概念,夯实计算过程及其应用范围。
3.课程内容安排
第一章:以解线性方程组为主线,重点保持解线性方程组过程中“解”不变!(可承接初高中知识)
第二章:以计算行列式为主线,重点保持计算过程“数”不变!
第三章:以矩阵乘法和矩阵的初等变换为主线,建立第一、二、三章的关联;
第四章:以向量组的线性相关性为主线,讨论最大无关组,线性方程组解的结构,向量空间;
第五章:以特征值和特征向量为主线,讨论方阵相似对角化的判定条件、计算和应用;
第六章:以二次型的标准形为主线,讨论合同矩阵的计算、化标准形的方法、二次型的不定性.
注:较为抽象的计算或证明有标注,作为自由选学内容或辅修内容。
4.课程荣誉
(1)福建省精品在线开放课程
(2)福建省一流线上课程
(3)福建省线上线下混合式一流课程
(4)华侨大学精品在线开放课程
(5)华侨大学百门优质课程
5.课程适合群体
(1)具有初高中数学知识;
(2)需要学习先修课程的人群;
(3)需要学习提升或答疑解惑的在校学生和考研人群;
(4)对数学感兴趣的人群;
1.了解线性代数的起源、理论发展及基本应用,具备基本代数素养;
2. 掌握线性代数的基本要求、基本思想、基本理论和基本计算方法;
3. 了解线性代数在后续课程中的应用;
4. 学会应用线性代数分析问题,对简单的实际问题进行转化;
会加法和乘法运算
会解二元一次方程组
初高中数学知识
1.谢小贤主编,李鸿萍,黄哲煌副主编 .2019.7. 线性代数.清华大学出版社
2.同济大学数学系.2014.线性代数.7版.高等教育出版社.
3.同济大学数学系.2014.线性代数学习辅导与习题选解.高等教育出版社.
4.陈建龙,周建华,张小向,韩瑞珠,周后型.2016.线性代数(第二版).北科学出版社.
5.罗从文主编.2016.线性代数教程(第三版).科学出版社.
6.林亚南 编著.2013.高等代数. 北京:高等教育出版社.
7.David C.Lay著.刘深泉,洪毅等译.2005.线性代数及其应用.北京:机械工业出版社.
同学们在学习过程中有任何建议或疑问,可以通过MOOC讨论区,反馈给我们,我们将不断调整完善,以帮助同学们更加顺利地开展学习。
Q1:矩阵与行列式的联系与区别?
A1:可参考综合视频 3.23.
这个问题 解决了,可以事半功倍哦~~~~~
Q2:化行阶梯形矩阵,化行最简形矩阵,化标准形矩阵与解线性方程组的关系?
A2:化行阶梯形矩阵的过程相当于解线性方程组的消元过程,使用初等行变换;
化行最简形矩阵的过程相当于解线性方程组的消元过程和回代过程,使用初等行变换;
化标准形矩阵的过程与解线性方程组无关,可以使用初等行变换和初等列变换;
可参考视频 1.8, 1.9, 1.10
另注 这三种解题过程都可以用来讨论计算矩阵的秩,可参考视频 1.11
重点难点是:何时化简至行阶梯形?何时化简至行最简形?何时化简至标准形?
Q3:关于含参数的线性方程组的解的情况,应如何讨论参数的取值范围?
A3:常用的方法有两种,可参考视频 1.14,视频 2.20, 2.21
重点是:从哪里入手??? 还需 不重不漏地讨论参数的各种取值情形!!
Q4:如何利用行列式的性质及分块矩阵思想计算抽象行列式?
A4:可参考综合视频 3.24.
这个思想会一直用到第四章向量组。。。
Q5:求逆矩阵的计算方法有哪些?
A5:求逆矩阵的计算方法有5种,可参考视频 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.27
可以比较各种方法的优劣及其适用范围!!!对比学习!!
Q6:解矩阵方程的方法有哪些?
A6:常用的方法有两种,可参考视频 3.22, 3.28
需特别注意:可逆矩阵的位置!!!左乘或右乘 是不一样哦~~~~~~
Q7:找可逆矩阵,使实对称矩阵相似对角化,或找正交矩阵,使实对称矩阵相似对角化,
这两个过程一样吗?
A7:不一样。因为正交矩阵一定是可逆矩阵,但反之不成立。可参考视频 5.13, 5.16
特别地,找正交矩阵 使实对称矩阵相似对角化,
这一过程和第六章 用正交变换法(正交矩阵法)使实对称矩阵合同对角化,有关系哦~~~
Q8:把二次型化为标准形,有几种方法?
A8:有3种方法,可参考视频 6.5, 6.6, 6.7,
注意它们的联系与区别:比如标准形是否唯一,或正、负惯性指数的关系,或标准形的系数的含义等多方面进行考察!
欢迎加入讨论!!
祝学习愉快!!!
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课程团队