哈尔滨工业大学

线性代数与空间解析几何

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课程概述

       本课程是哈尔滨工业大学工科各专业学生必修的自然科学基础理论课程。通过本课程的学习,要使学生比较系统地理解、掌握有关的基本概念、基本理论和基本方法。在传授线性代数与空间解析几何的知识的同时,通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、空间想象能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,为工科后继课程打下有关的数学基础。

       课程的内容主要包括:行列式,矩阵,几何向量,n维向量,线性方程组(包括平面、直线位置关系),特征值、特征向量与相似矩阵,线性空间与线性变换,二次型与二次曲面。

       本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融为了一门课程。 代数中的许多概念非常抽象,几何为抽象的代数提供了直观想象的空间,代数为几何提供了便利的研究工具。代数与几何的融合能加强学生对数与形内在联系的理解,学会用代数的方法处理几何问题。 

       本课程的教学注重教育学生认识和理解现实生活中的线性模型;领会的内在联系;掌握线性代数的核心内容,即:线性方程组的解的存在条件、解的结构,求解方法及线性方程组的几何背景;矩阵在处理离散、线性的问题中所起的作用与所扮演的角色;二次型的几何背景、化简及应用。为此我们给同学们准备了图像压缩人脸识别供给侧改革等线性代数在实际生活中的应用案例。

授课目标
通过本课程的学习,要使学生比较系统地理解、掌握有关的基本概念、基本理论和基本方法。在传授线性代数与空间解析几何的知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、空间想象能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,为工科后继课程打下有关的数学基础。
证书要求

证书要求

成绩分值比

课程测验:10%

期中考试:20%

作业:20%

讨论:10%

期末考试:40%


成绩

合格:60≤得分<85

优秀:85≤得分

预备知识

高中数学基本知识。

授课大纲

本课程的基本要求如下:

   (一)行列式

     1.了解行列式的概念,理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念。

     2.掌握行列的性质,按行、列展开定理,Gramer法则。

   (二)矩阵

     1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。

     2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、以及它们的运算规律。

     3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质。

     4.掌握矩阵的初等变换,掌握初等矩阵的性质,理解矩阵等价的概念,会用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

     5.理解分块矩阵,掌握分块阵的运算及初等变换。

   (三)向量

     1.理解向量的概念及其表示。

     2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)。了解两个向量垂直、平行的条件。

     3.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

     4.理解 n 维向量的概念,了解内积的概念。

     5.理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。

     6.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩。

     7.了解向量组等价的概念,了解向量组的秩与矩阵秩的关系。

     8.了解 n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。

     9.掌握线性无关向量组标准正交化的施密特(Schimidt)方法。

     10.了解标准正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。

   (四)线性方程组

     1.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

     2.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。

     3.理解齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

     4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

   (五)特征值、特征向量及相似矩阵

     1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量。

     2.了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。

     3.掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。

   (六)实二次型

     1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解惯性定律。

     2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,了解用配方法化二次型为标准形的方法。

     3.了解合同变换的概念。

     4.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。

   (七)线性空间与线性变换

     1.了解线性空间、子空间、基、维数、坐标等概念。

     2.掌握基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵。

     3.  掌握线性变换的定义,线性变换矩阵的概念。会求在不同基下的线性变换的矩阵。

   (八)空间解析几何

     1.掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。

     2.理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

     3.了解空间曲线的参数方程和一般方程。

     4.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。

     5了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

二、本课程的主要内容、各章节内容及其学时安排:

   第一章  n 阶行列式(共5学时)

   第二章  矩阵(共13学时)

   第三章  几何向量(共8学时)

   第四章  n 维向量(共8学时)

   第五章  线性方程组(共6学时)

   第六章  特征值特征向量(共6学时)

   第七章  线性空间与线性变换(共4学时)

   第八章  二次型与二次曲面(共8学时)

   综合练习(共6学时)


参考资料

1.《线性代数与空间解析几何》(第4版),郑宝东等,高等教育出版社。

2.《线性代数与空间解析几何》(第4版),黄廷祝等,高等教育出版社。

3.Introduction to Linear Algebra》(4th Edition), Gilbert  Strang.   

4.Linear Algebra and Its Applications》(4th Edition), David Lay.