微积分

大学先修课

大学先修课是让中学生自主学习、提前接受大学思维和学习方法的课程。了解更多

伦琴在回答科学家需要怎样修养时说：

第一是数学

第二是数学

第三还是数学。

恩格斯评价说：“人类所取得的理论成就还没有什么像17世纪下半叶微积分的发现 那样使人类整个精神达到了最高的胜利。”

本课程内容包含一元微分学，对应哈工大《工科数学分析》（第五版）课本前六章内容：

第一部分、极限与连续，共八节，即八讲；

第二部分、导数与微分，共五节，即五讲；

第三部分、微分中值定理与导数应用，共六节，即六讲；

第四部分、不定积分，共四节，即四讲；

第五部分、定积分，共五节，即五讲。

作业：60分

参与讨论：10分

期末：30分

（注意：讨论得分需要回答课堂所留开放性问题才能取得）

60－79分：合格证书
80－100分：优秀证书

特别提示：

1.考到哈尔滨工业大学的学生，开学将会有一次考试

（注意，必须获得这里的电子证书或者教育学会考试及格证书才有资格）；

考试通过的将获得《微积分》第一学期的学分，从而可以免修第一学期本课程。

2. 教学学会考试通过之后，进入哈工大后，对《微积分》作为考查课的专业可以直接承认学分

 对《微积分》作为考试课的专业出于公平起见，开学会有一次考试（参见第一条）

注：“工科数学分析”和“微积分”只是课程名称的差别，不用纠结，大纲都一样。

高中数学知识

第一章、极限与连续

   第一讲、函数

   0.1实数与实数集

   0.2有界集与上下确界

   0.3函数及常用函数

   0.4复合函数举例

   0.5极坐标

  第二讲、数列极限的概念

   1.1.1数列极限的概念

   1.1.2数列极限定义证明题（1）

   1.1.3数列极限定义证明题（2）

  第三讲、数列极限的性质与运算

   1.2.1数列极限的唯一性

   1.2.2数列极限的保序性

   1.2.3数列极限的有界性

   1.2.4数列极限的四则运算

   1.2.5数列极限的计算举例（1）

   1.2.6数列极限的计算举例（2）

 第四讲、数列极限的收敛准则

   1.3.1数列极限的夹挤定理

   1.3.2数列极限夹挤定理举例

   1.3.3数列极限的单调有界原理

   1.3.4数列极限的单调有界原理举例（1）

   1.3.5数列极限的单调有界原理举例（2）  

  第五讲、函数极限的概念、性质与运算

   1.4.1自变量趋向于无穷大时函数极限的概念

   1.4.2自变量趋向于定点时函数极限的概念

   1.4.3函数极限的性质与运算

   1.4.4函数极限运算举例

  第六讲、两个重要极限

   1.5.1函数的收敛准则与第一个重要极限

   1.5.2第一个重要极限举例

   1.5.3第二个重要极限

   1.5.4第二个重要极限举例（1）

   1.5.5第二个重要极限举例（2）

  第七讲、无穷小

   1.6.1无穷小与无穷大的概念

   1.6.2无穷小的性质（1）

   1.6.3无穷小的性质（2）

   1.6.4无穷小的比较

   1.6.5等价无穷小代换

   1.6.6等价无穷小代换举例

  第八讲、连续

   1.7.1函数连续的概念

   1.7.2函数间断点的分类

   1.7.3连续函数的性质

   1.7.4闭区间连续函数的性质

第二章、导数与微分

  第九讲、导数的概念

   2.1.1导数的定义

   2.1.2导数的性质与意义

  第十讲、导数的计算

   2.2.1导数的基本公式

   2.2.2导数的四则运算

  第十一讲、导数的求导法则

   2.3.1反函数的求导法则

   2.3.2复合函数的求导法则

   2.3.3导数计算的辅助公式

   2.3.4隐函数及参数方程式函数求导法则

  第十二讲、高阶导数

   2.4.1高阶导数的定义

   2.4.2高阶导数公式

   2.4.3高阶导数计算举例（1）

   2.4.4高阶导数计算举例（2）

 第十三讲、微分

   2.5.1微分的概念

   2.5.2微分与导数的关系

   2.5.3微分的计算

   2.5.4微分的应用

第三章、微分中值定理

  第十四讲、微分中值定理

   3.1.1罗尔中值定理

   3.1.2罗尔中值定理应用举例

   3.1.3拉格朗日中值定理

   3.1.4拉格朗日中值定理举例

   3.1.5拉格朗日中值定理推论

   3.1.6柯西中值定理

  第十五讲、罗比达法则

   3.2.1罗比达法则

   3.2.2罗比达法则举例（1）

   3.2.3罗比达法则举例（2）

  第十六讲、泰勒公式

   3.3.1泰勒公式的引入

   3.3.2泰勒中值定理

   3.3.3常见的泰勒公式

   3.3.4泰勒公式应用举例

  第十七讲、极值与最值

   3.4.1函数的单调性

   3.4.2函数的极值

   3.4.3函数的最值（1）

   3.4.4函数的最值（2）

  第十八讲、函数的作图

   3.5.1函数的凸凹性

   3.5.2函数的渐近线

   3.5.3函数的作图

  第十九讲、函数的弧微分与曲率

   3.6.1函数的弧微分

   3.6.2函数的曲率

   3.6.3函数的曲率圆

第四章、不定积分

   第二十讲、原函数与不定积分

   4.1.1原函数与不定积分

   4.1.2不定积分的性质

   4.1.3不定积分的基本公式

   4.1.4不定积分计算举例

  第二十一讲、第一换元积分法

   4.2.1第一换元积分法

   4.2.2积分公式补充

   4.2.3三角函数常见凑微分（1）

   4.2.4三角函数常见凑微分（2）

   4.2.5其他类型的凑微分

  第二十二讲、分部积分法

   4.3.1分部积分公式

   4.3.2典型的分部积分（1）

   4.3.3典型的分部积分（2）

   4.3.4其他类型的分部积分

 第二十三讲、其他类型的积分法

   4.4.1第二换元积分法

   4.4.2有理函数的积分

   4.4.3有理函数的积分举例

   4.4.4其他类型的积分

第五章、定积分

   第二十四讲、定积分的概念与性质

   5.1.1定积分的概念 

   5.1.2定积分的意义与可积准则

   5.1.3定积分的性质

   第二十五讲、微积分基本定理

   5.2.1微积分基本定理——微分部分 

   5.2.2变限积分函数应用举例

   5.2.3微积分基本定理——积分部分

   第二十六讲、定积分的计算

   5.3.1定积分的第一换元与分部积分法

   5.3.2定积分的第二换元积分法

   5.3.3定积分的第二换元积分法应用举例

   5.3.4定积分定义求极限

   第二十七讲、广义积分

   5.4.1无穷区间上的广义积分

   5.4.2瑕积分

   第二十八讲、定积分的应用

   5.5.1微元法

   5.5.2直角坐标系下平面图形面积

   5.5.3极坐标系夏平面图形面积

   5.5.4旋转体体积

   5.5.5横截面积已知的空间体体积

   5.5.6曲线弧长的计算

   5.5.7定积分的物理应用

1.哈尔滨工业大学数学系分析教研室，工科数学分析（第五版）（上、下），高等教育出版社，2015年.

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下册购买链接：http://www.hepmall.com/index.php/product-21658.html

注：第五版教材是与本MOOC课程配套的立体化教材

2.哈尔滨工业大学数学系分析教研室，工科数学分析学习指导与习题解答（上、下），高等教育出版社，2015年.

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3.卓越联盟高等数学期末试题全解，卓越数学联盟编，科学出版社，2016年

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4.全国大学生数学竞赛复习全书（第二版），尹逊波、杨国俅编，哈尔滨工业大学出版社，2017年