哈尔滨工业大学

高等数学习题课(二)

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课程概述

本课程主要为微分方程、多元微分学及无穷级数内容。

分为课程内容回顾及习题类型讲解两大块。

可以作为期末考试,考研复习之用。


证书要求

作业:60分

参与讨论:10分

期末:30分

(注意:讨论得分需要回答课堂所留开放性问题才能取得)


60-79分:合格证书
80-100分:优秀证书


预备知识

高等数学中微分方程、多元微积分学、无穷级数知识

授课大纲

第一部分、微分方程

  A—知识点回顾

  A1.1微分方程相关概念     

  A1.2一阶可解微分方程        

  A1.3可降阶微分方程          

  A1.4高阶线性微分方程解的结构    

  A1.5常系数齐次线性微分方程    

  A1.6常系数非齐次线性微分方程    

    A1.7全微分方程

 B—习题讲解

  B1.1一阶微分方程——可分离变量方程    

  B1.2一阶微分方程——换元法1    

  B1.3一阶微分方程——换元法2    

  B1.4一阶微分方程——换元法3    

  B1.5一阶微分方程——一阶线性微分方程   

  B1.6一阶微分方程——一阶线性微分方程应用题   

  B1.7一阶微分方程——伯努利方程    

  B1.8一阶微分方程——全微分方程    

  B1.9可降阶的方程1      

  B1.10可降阶的方程2  

  B1.11可降阶的方程3      

  B1.12线性微分方程解的结构1    

  B1.13线性微分方程解的结构2     

  B1.14常系数线性齐次微分方程1    

  B1.15常系数线性齐次微分方程2    

  B1.16常系数线性非齐次微分方程    

  B1.17欧拉方程    

第二部分、多元微分学

  A—知识点回顾

  A2.1概念——重极限       

  A2.2概念——连续与偏导数     

  A2.3概念——偏导数的几何意义   

  A2.4概念——连续与偏导数关系    

  A2.5概念——高阶偏导数      

  A2.6概念——全微分   

  A2.7概念——可微的几何意义     

  A2.8概念——多元微分学概念的关系   

  A2.9计算——复合函数的链式法则    

  A2.10计算——复合函数的全微分     

  A2.11计算——隐函数的存在准则      

  A2.12应用——二元函数的无条件极值    

  A2.13应用——多元函数的条件极值     

 B—习题讲解

  B2.1重极限计算   

  B2.2多元微分学概念的理解1       

  B2.3多元微分学概念的理解2     

  B2.4偏导数计算1     

  B2.5偏导数计算2    

  B2.6复合函数与隐函数方程组求导方法   

  B2.7方程组求导举例   

  B2.8偏导数计算综合举例1     

  B2.9偏导数计算综合举例2     

  B2.10无条件极值举例1    

  B2.11无条件极值举例2    

  B2.12条件极值举例1     

  B2.13条件极值举例2     

  B2.14极值选择题1    

  B2.15极值选择题2     

第三部分、二重积分

  A—知识点回顾

  A3.1二重积分的意义  

  A3.2二重积分的性质   

  A3.3二重积分的计算公式   

 B—习题讲解

  B3.1计算——直角坐标系下    

  B3.2计算——积分换序      

  B3.3计算——极坐标系下     

  B3.4计算——对称性1      

  B3.5计算——对称性2     

  B3.6计算——带绝对值      

  B3.7计算——综合题1       

  B3.8计算——综合题2      

  B3.9计算——综合题3     

第四部分、空间解析几何及多元微分学在几何中的应用

  A—知识点回顾

  A4.1向量的概念     

  A4.2向量的乘积      

  A4.3平面直线方程    

  A4.4点到平面的距离公式 

  A4.5点到直线的距离公式    

  A4.6直线之间的距离公式   

  A4.7二次曲面       

  A4.8多元微分学在几何中的应用     

  A4.9方向导数的概念          

  A4.10方向导数与其他概念的关系     

 B—习题讲解

  B4.1计算——直线与平面

  B4.2计算——旋转曲面

  B4.3计算——多元微分学在几何中的应用

  B4.4计算——方向导数 

第五部分、多元积分学(续)

  A—知识点回顾

  A5.1多元积分的分类

  A5.2三重积分直角坐标系下计算公式

  A5.3三重积分球坐标系下计算公式

  A5.4第一型曲线积分

  A5.5第一型曲面积分

  A5.6质心

  A5.7转动惯量

  A5.8第二型曲线积分

  A5.9第二型曲线积分的计算方法——平面曲线

  A5.10与路径无关的等价条件

  A5.11第二型曲面积分

  A5.12第二型曲面积分的计算方法

  A5.13第二型曲线积分计算方法——空间曲线

  A5.14梯度、散度和旋度

 B—习题讲解

  B5.1计算——三重积分(直角坐标)

  B5.2计算——三重积分(柱坐标)

  B5.3计算——三重积分(球坐标1

  B5.4计算——三重积分(球坐标2

  B5.5计算——三重积分(综合题)

  B5.6计算——第一型曲线积分(几何意义)

  B5.7计算——第一型曲线积分(性质应用)

  B5.8计算——第一型曲面积分(几何应用)

  B5.9计算——第一型曲面积分(性质应用)

  B5.10计算——第一型曲面积分(综合题1

  B5.11计算——第一型曲面积分(综合题2

  B5.12计算——质心1

  B5.13计算——质心2

  B5.14计算——转动惯量

  B5.15计算——第二型曲线积分(参数法)

  B5.16计算——第二型曲线积分(物理意义)

  B5.17计算——第二型曲线积分(格林公式1

  B5.18计算——第二型曲线积分(格林公式2

  B5.19计算——第二型曲线积分(与路径无关1

  B5.20计算——第二型曲线积分(与路径无关2

  B5.21计算——第二型曲线积分(综合题)

  B5.22计算——第二型曲面积分(投影法)

  B5.23计算——第二型曲面积分(高斯公式)

  B5.24计算——斯托克斯公式

  B5.25计算——第二型曲面积分(综合题1

  B5.26计算——第二型曲面积分(综合题2

第六部分、无穷级数

  A—知识点回顾

  A6.1无穷级数的概念

  A6.2数项级数的性质

  A6.3正项级数的判别法

  A6.4比较判别法的尺子

  A6.5交错级数及一般项级数判别法

  A6.6幂级数的概念

  A6.7幂级数的展开与求和

  A6.8傅里叶级数

 B—习题讲解

  B6.1计算——p-级数敛散性的判定

  B6.2计算——数项级数敛散性判定(定义)

  B6.3计算——数项级数敛散性判定(性质)

  B6.4计算——数项级数敛散性判定(比较法)

  B6.5计算——数项级数敛散性判定(部分和有界)

  B6.6计算——数项级数敛散性判定(比阶法)

  B6.7计算——数项级数敛散性判定(比值、根值法)

  B6.8计算——交错级数敛散性判定

  B6.9计算——数项级数敛散性判定

  B6.10计算——数项级数敛散性判定(选择题1

  B6.11计算——数项级数敛散性判定(选择题2

  B6.12计算——幂级数的收敛域1

  B6.13计算——幂级数的收敛域2

  B6.14计算——幂级数的收敛域3

  B6.15计算——幂级数的展开1

  B6.16计算——幂级数的展开2

  B6.17计算——幂级数的求和1

  B6.18计算——幂级数的求和2

  B6.19计算——幂级数的求和3

  B6.20计算——傅里叶级数1

  B6.21计算——傅里叶级数(选择题)

  B6.22计算——傅里叶级数2

 


参考资料

1.哈尔滨工业大学数学系分析教研室,工科数学分析(第五版)(上、下),高等教育出版社,2015年

注:第五版教材是与本MOOC课程配套的立体化教材

2.哈尔滨工业大学数学系分析教研室,工科数学分析学习指导与习题解答(上册、下册),高等教育出版社,2015年

3.卓越联盟高等数学期末试题全解,卓越数学联盟编,科学出版社,2016年

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4.全国大学生数学竞赛复习全书,尹逊波、靳水林、郭玉坤编,哈尔滨工业大学出版社,2014年