数值线性代数
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spContent=我们学习过线性代数或是高等代数,为什么还要学习数值线性代数呢?线性代数或高等代数中主要关注的是在理论上怎么解线性方程组,然而当今时代是信息爆炸的时代,我们要解决的问题的规模越来越大,理论上就很难解决或者根本就没有理论解,那么我们就需要研究解决这类问题的算法进而给出数值解。
—— 课程团队
课程概述

本课程是信息与计算科学专业基础课程。数值线性代数又称矩阵计算,数值线性代数研究的主要目的是如何针对各类科学与工程问题所提出的矩阵计算的特点,设计出相应的快速可靠的算法。本课程主要学习解线性方程组的直接解法、迭代解法、最小二乘问题的解法、共轭梯度法、特征值问题的计算方法等。

授课目标

掌握求解线性方程组、最小二乘及特征值问题数值算法等

课程大纲

《数值线性代数》慕课课程教学大纲

 

总学时数: 40 学时                       

一、本课程的性质、目的和任务

数值线性代数又称矩阵计算,数值线性代数研究的主要目的是如何针对各类科学与工程问题所提出的矩阵计算的特点,设计出相应的快速可靠的算法。

二、课程教学的基本要求

要求学生既要注重基础理论又要注重实践。掌握算法的设计思想和设计方法,完成主要算法的程序设计。

三、课程教学内容

 

1  教学基本要求

了解数值方法的必要性,实现数值计算的过程。总教学时数2学时。

2  教学内容

 数值线性代数的基本问题,研究数值方法的必要性,矩阵分解是设计算法的主要技巧,敏度分析与误差分析,算法复杂性与收敛速度,算法的软件实现与现行数值线性代数软件包,符号说明。

3  教学重点与难点

重点:数值线性代数的基本问题,研究数值方法的必要性,矩阵分解是设计算法的主要技巧

等。

难点:敏度分析与误差分析,算法复杂性与收敛速度。

第一章 线性方程组的直接解法

1  教学基本要求

     用计算机求解线性方程组。教学时数8学时。

2  教学内容

三角形方程组和三角分解,选主元三角分解,平方根法,分块三角分解。

3  教学重点与难点

Gauss消去法解线性方程组,平方根法解线性方程组。

第二章 线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析

1  教学基本要求

会进行误差分析和改进精度。教学时数6学时。

2  教学内容

向量范数与矩阵范数;线性方程组的敏度分析,基本运算的舍入误差分析。

3  教学重点与难点

向量范数与矩阵范数,敏度分析和舍入误差分析。

   第三章 最小二乘问题的解法

1、  教学基本要求

  要求掌握求解最小二乘问题的方法。教学用时5学时。

                2  教学内容

     最小二乘问题,正交变换,正交化方法。

               3  教学重点与难点

     正交变换,正交化方法

     第四章  线性方程组的古典迭代解法

             1  教学基本要求

    学会用迭代法求解大型的稀疏方程组。讲授8学时。

             2  教学内容

     Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代,迭代法的收敛性分析,收敛速度,超松驰迭代法。

            3  教学重点与难点 

            Jacobi迭代,Gauss-Seidel迭代,超松驰迭代法。

   第五章  共轭梯度法

           1  教学基本要求

    学会共轭梯度法解大型稀疏线性方程组。讲授8学时。

          2  教学内容

    最速下降法,共轭梯度法及其性质,实用共轭梯度法及其收敛性,预优共轭梯度法。

         3  教学重点与难点

         共轭梯度法及其性质。

  第六章  非对称特征值问题的计算方法

         1  教学基本要求

        掌握计算矩阵特征值及特征向量的幂法。讲授用时3学时。

        2  教学内容

   基本概念和性质,幂法。

        3  教学重点和难点

        幂法的算法设计及理论分析

 

四、本课程与其它课程的关系:

     本课程是信息与计算科学专业的一门基础课,以高等代数为基础。

五、教材及参考书

选用徐树方等编《数值线性代数》,北京大学出版社。

参考书目:

1   曹志浩,矩阵特征值问题,上海科学技术出版社,1980

2   冯国忱,刘经伦,数值代数基础,吉林大学出版社,1991

3  徐树方,矩阵计算的理论与方法,北京大学出版社,1995

      

六、课时目录


绪论

绪论(上)

绪论(下)

单元测试题

1. 线性方程组的直接解法

1.1.1 线性方程组的解法简介

1.1.2 三角形方程组的解法

1.1.3 Gauss 变换(上)

1.1.3 Gauss 变换(下)

1.1.4 Gauss变换的条件

1.1.5  全主元三角分解

1.1.6  列主元三角分解

1.1.7 平方根法

单元测试题

2. 线性方程组的敏度分析

2.1.1  向量范数的定义

2.1.2 向量范数的性质

2.2.1矩阵范数的定义

2.2.2 矩阵范数的性质

2.3.1线性方程组扰动的误差分析

2.3.2线性方程组的性态

单元测试题

3. 最小二乘问题的解法

3.1 最小二乘问题(上)

3.1 最小二乘问题(下)

3.2 初等正交变换

3.3 正交变换法

单元测试题

4. 线性方程组的古典迭代解法

4.1 单步线性定常迭代法

4.2 收敛性理论-上

4.2 收敛性理论-中

4.2 收敛性理论-下

4.3 收敛速度

4.4 超松弛迭代-上

4.4 超松弛迭代-下

单元测试


5. 共轭梯度法

5.1 最速下降法及其MATLAB实现-1

5.1 最速下降法及其MATLAB实现-2

5.1 最速下降法及其MATLAB实现-3

5.2 共轭梯度法及其基本性质-1

5.2 共轭梯度法及其基本性质-2

5.3 实用共轭梯度法及其收敛性

5.4 预优共轭梯度法

单元测试

6. 非对称特征值问题的计算方法

6.1 基本概念与性质

6.2 幂法

6.3 反幂法(上)

6.3 反幂法(下)

6.4 QR方法

单元测试题


预备知识

线性代数或高等代数

证书要求

课堂测试与作业占30%、讨论占10%、

期末考试占60%,按百分制计分,

60分至85分为合格、

85分以上至100分为优秀。


参考资料

教材为徐树方等编《数值线性代数》,北京大学出版社。

参考书目:

(1)   曹志浩,矩阵特征值问题,上海科学技术出版社,1980

(2)   冯国忱,刘经伦,数值代数基础,吉林大学出版社,1991

(3) 徐树方,矩阵计算的理论与方法,北京大学出版社,1995

(4)金小庆, 魏益民, 赵志数值线性代数及其应用科学出版社,2015