画法几何
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spContent=《画法几何》是一门研究用投影法绘制工程图样来解决空间几何问题的理论和方法的技术基础课程,是工程类相关专业制图课程的基础,是技术人员必备的基本素质技能。 主要研究投影法的基本理论和作图方法以及利用这些方法去解决空间几何元素间的关系,强调空间想象能力和发散性思维。
—— 课程团队
课程概述

1.课程背景

《画法几何》是一门研究应用投影法绘制工程图样来解决空间几何问题的理论和方法的技术基础课,是工程类相关专业的制图课程的基础,是从事工程设计、施工、管理等技术人员必备的基本素质之一。

传统的教学方法以课堂讲授为主,练习实践与上习题课结合,强调学生的逻辑思维能力,而培养学生的空间想象能力和空间分析能力,是本课程的重点,因此,教学设计上应该给学生准备相当充足的学习时间让学生适应思维模式的转换。

本课题组采用混合式教学方法,将画法几何中的空间几何图解部分以及基本几何体截交和相贯的立体图解基础部分制作成在线教程形式,充分利用网络信息技术优势,弥补传统课时不足,同时针对空间想象差异性的学生特点,让有意愿的学生,即使存在空间想象能力的先天不足,也能够有平台予以自我学习,实现最终掌握课程教学要求,从而最终实现对其空间想象能力培养的终极目标。

2.课程目标

《画法几何》课程的学习目标主要包括四项:

1)学习各种投影法(主要是正投影法)的基本理论及其应用;

2)能用作图方法解决空间度量问题和定位问题,掌握工程制图有关国家标准的一般规定及图样画法。

3) 培养空间几何问题的图解能力;

     4)培养绘制和阅读工程图样的基本能力。

3.  设计原则

 1)思维切换性

在线教程部分专注解决学生学习过程中在空间和投影平面图形间的不断切换的学习特点,

 2)步骤有效性

教学上强调思维和操作的步骤,让学生通过简单的步骤操作达到空间思维能力和表达能力的培养。

 3)循序渐进性

按照先易后难,先简后繁的形式,让学生循序渐进地实现空间点线面体向投影面投影的空间想象思维转换。

 4)重点深化

选择用典型题目结题过程实现空间思维的强化。


   4.学时分配

      《画法几何》课程授课学时为32个学时,2学分。

结合课程特点,将画法几何中的空间几何图解部分以及基本几何体截交和相贯的立体图解基础部分的理论授课共24个学时制作成MOOC/SPOC授课网络平台,充分利用网络信息技术优势,实现全程在线的“翻转课堂”模式,弥补课时不足,剩余的8个学时将用于线下讲授相关规定机件表达方法及线下见面课答疑,最终达到学生培养消化空间想象力学习的最佳效果。



授课目标
1)学习各种投影法(主要是正投影法)的基本理论及其应用; 2)能用作图方法解决空间度量问题和定位问题,掌握工程制图有关国家标准的一般规定及图样画法。 3) 培养空间几何问题的图解能力; 4)培养绘制和阅读工程图样的基本能力。
课程大纲

第一章 绪论

《画法几何》是一门研究应用投影法绘制工程图样来解决空间几何问题的理论和方法的技术基础课程,研究各种投影法(主要是正投影法)的基本理论和作图方法,以及如何利用这些方法去解决空间几何元素之间的关系并用平面图形来表示空间形体。《画法几何》是工程类相关专业制图课程的基础,是从事工程设计、施工、管理等技术人员必备的基本素质。 《画法几何》课程传统的教学方法以课堂讲授为主,同时练习实践与上习题课相结合。 在课堂讲授中,主要讲授基本理论、通用典型图例,结合采用直观模型、挂图、多媒体等教学手段,尽力把抽象的理论转化为直观的、具体的内容,便于学生理解、接受。 在作业环节,该课程则希望通过课后作业,使学生加深对理论的理解,巩固概念,融会贯通。强调作业的实践能力和质量是本门课程的重要教学特点。 本门课程与其它普遍教学强调逻辑思维有较大区别,这意味着学生的学习思路及方法需要做较大的变化,相应必须准备相当充足的课时和时间让学生适应思维模式的转换。但目前的现实对于这门如此重要的专业基础课,而且是一门需要全新思维模式的课程,学时仅仅是一周一次课,这相应造成许多学生的不适应。 结合本课程特点,我们将通过以MOOC/SPOC为载体,将画法几何中的空间几何图解部分以及基本几何体截交和相贯的立体图解基础部分制作成相应授课网络平台,充分利用网络信息技术优势,探索全程在线和线上线下相结合的“翻转课堂”新模式,弥补课时不足,同时针对空间想象差异性的学生特点,让有意愿的学生,即使存在空间想象能力的先天不足,也能够有平台予以自我学习,自我充能,实现最终掌握课程教学要求,从而最终实现对其空间想象能力培养的终极目标。 《画法几何》课程的学习目标主要包括四项: 1. 学习各种投影法,主要是正投影法的基本理论及其应用; 2. 培养空间想象能力和空间分析能力; 3. 培养空间几何问题的图解能力; 4. 培养绘制和阅读工程图样的基本能力。 总之通过本课程的学习,让学生掌握投影法,主要是正投影法的基本理论和作图方法;能运用作图方法解决空间度量问题和定位问题;掌握工程制图有关国家标准的一般规定及图样画法。同时针对培养学生的空间想象能力和空间分析能力的本课程培养重点,相应运用专门特色手段,匹配充足的课时和时间以满足学生适应由逻辑思维向发散性思维的思维模式转换要求,达到学生培养目标。

  1. 画法几何概述

    《画法几何》是一门研究应用投影法绘制工程图样来解决空间几何问题的理论和方法的技术基础课程。本课程与其它普遍教学强调逻辑思维有较大区别,它强调空间想象能力和发散性思维,这意味着学生的学习思路及方法需要做较大的变化。结合课程特点,在线课堂将画法几何中的空间几何图解部分以及基本几何体截交和相贯的立体图解基础部分制作成相应授课网络平台,充分利用网络信息技术优势,利用全程在线和线上线下相结合的“翻转课堂”模式,满足充足的课时要求需要,同时针对空间想象差异性的学生特点,让有意愿的学生,即使存在空间想象能力的先天不足,也能够有平台予以自我学习,自我充能,实现最终掌握课程教学要求,从而最终实现对其空间想象能力培养的终极目标。 《画法几何》课程的学习目标主要包括四项: 1. 学习各种投影法,主要是正投影法的基本理论及其应用; 2. 培养空间想象能力和空间分析能力; 3. 培养空间几何问题的图解能力; 4. 培养绘制和阅读工程图样的基本能力。 《画法几何》课程的教学内容设计原则包括三项: 1、思维切换性 2、步骤有效性 3、循序渐进性 《画法几何》课程学习方法强调理论联系实践。

第二章 投影法概述及点的投影

当光照射在空间形体上,在相应的平面上会产生匹配的光影,利用光影特性设置光源照射空间形体,然后在预设的平面上获取与光影匹配的形体图形的原理方法称为投影法。根据光影相对于投影面位置关系,投影法又分为三类:中心投影法、平行投影法和正投影法。相应在不同投影法条件下会有对应的投影特性。而点的投影表达则是空间形体投影表达的基础,通过对点在投影面体系中的投影特性及其表达规律的归纳总结将实现对空间线、面乃至空间形体在投影面体系中的投影特性及其表达规律的归纳总结直至理解的拓展。

  1. 投影法

    当光照射在空间形体上,在相应的平面上会产生匹配的光影,利用光影特性设置光源照射空间形体,然后在预设的平面上获取与光影匹配的形体图形的原理方法称为投影法。其中光源在投影法中定义为投射中心,光源发射出的光线定义为投射线,获取匹配光影图形的平面定义为投影面,而空间形体形状和光影的匹配关系定义为投影特性。根据光影相对于投影面位置关系,投影法分为中心投影法、平行投影法和正投影法三种。中心投影法是指光源也就是投射中心位于投影面有限远处条件下的投影法,在这条件下,将具备同素性或相似性(从属性)和积聚性两种投影特性。将投射中心相对于空间形体及投影面的距离延长到无限长位置,相应不同投射线之间相对位置相互平行,在这种投影条件下,投影法称之为平行投影法。在平行投影法投影条件下,相对于中心投影法其投影特性将增加平行性、存真性和定比性三种投影特性。继续调整投射中心位置,让所有投射线与投影面垂直,在这种投影条件下,投影法定义为正投影法。在正投影法投影条件下,其相对于平行投影法又会增加一种名称叫垂直性的新投影特性。在画法几何表达中,使用的投影法一般为正投影法,正投影法所具备的六项投影特性将是空间形体投影表达的基础。

  2. 点的投影

    根据正投影法规则,过空间点作投影面的垂直线(也就是投射线),该垂直线与投影面的交点称为空间点在投影面上的投影。由于点只在一个投影面上的投影是不能确定点的空间位置的,需要用两个或两个以上投影面上的投影来确定。为了表达规范需要,国标规定要求每增加一个新的投影面,要基于一面已有的投影面,与其相互垂直,这样两两垂直的投影面就构成了投影体系。在投影体系中构成投影体系的两两垂直的投影面交线称为投影轴。同样根据国标规定把水平投影面H面和正立投影面V面组成的投影体系称为两投影面体系。另外强调按光源(或观测者)、空间形体、投影面顺序来确定三者之间位置顺序关系,也就是空间形体要处于光源(或观测者)和投影面之间。
    同时为真实表达空间形体的空间位置,要求将投影系中不同投影面的投影通过展开图形式让观察方向同投影表达方向一致,相应构成投影图。在投影图中两两垂直的投影面投影称为相邻投影,为此有了空间点的相邻两面投影连线垂直于投影轴,点在投影面上的投影到投影轴的距离等于该空间点与相邻投影面的距离的投影图投影规律表述。
    基于投影图投影规律,本章继续扩展换面法、点在三投影面体系中的投影以及重影点的投影等相关点的投影内容。

第三章 直线的投影

两点决定一条直线。直线的投影一般情况下仍然为直线,特殊情况下积聚成点。根据直线对投影面的相对位置,直线可分为投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线三种。用直角三角形法或换面法可以求一般位置线实长。空间两直线的相对位置可归结为三种,即两直线平行、两直线相交和两直线交叉。如果两直线互相垂直,其中一直线平行于某一投影面(另一直线不垂直于该投影面),则两直线在该投影面上的投影仍然垂直(称之为直角投影定理)。

  1. 直线及直线上点的投影

    直线上点的投影满足从属性和定比性。

  2. 各种位置直线的投影特性

    根据直线对投影面的相对位置,直线可分为投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线三种。

  3. 用直角三角形法求一般位置线实长

    用直角三角形法或换面法可以求一般位置线实长和倾角。

  4. 直线的投影变换

    一般位置直线通过投影变换可以转化成投影面平行线或投影面垂直线。

  5. 两直线的相对位置

    空间两直线的相对位置可归结为三种,即两直线平行、两直线相交和两直线交叉。

  6. 直角投影定理

    如果两直线互相垂直,其中一直线平行于某一投影面(另一直线不垂直于该投影面),则两直线在该投影面上的投影仍然垂直(称之为直角投影定理)。

第四章 平面的投影

根据平面在三投影面体系中的相对位置,可分为投影面的垂直面、投影面的平行面和一般位置平面。 用换面法可以求出一般位置平面的真实形状和倾角。点或直线在平面上,则点或直线的投影必然在该平面的同面投影上。要在面上取线必须经过面上的两个已知点或一个已知点和一个已知方向。 要在面上取点,必须先在面上取线,然后根据直线上点的投影求解。平面上对某个投影面倾角最大的直线,称之为平面上对该投影面的最大坡度线。  平面对投影面的倾角即为平面对该投影面的最大坡度线与该投影面的倾角。

  1. 平面的表示方法及投影特性

    根据平面在三投影面体系中的相对位置,可分为投影面的垂直面、投影面的平行面和一般位置平面。

  2. 平面上的点和直线

    点或直线在平面上,则点或直线的投影必然在该平面的同面投影上。要在面上取线必须经过面上的两个已知点或一个已知点和一个已知方向。 要在面上取点,必须先在面上取线,然后根据直线上点的投影求解。

  3. 平面的投影变换

    用换面法可以求出一般位置平面的真实形状和倾角。

  4. 直线的迹点和平面的迹线

    直线与投影面的交点,称为直线的迹点。平面与投影面的交线,称为平面的迹线。 平面的几何元素表示法与迹线表示法可经过作图实现互相转换。

第五章 直线与平面、平面与平面关系

      直线与平面间及两平面间的相对位置归纳起来有三种:平行、相交和垂直。本章主要研究这三种形式的投影特征及制图方法,并且运用它们之间的投影特性来解决下一章节的综合问题。

  1. 直线与平面、平面与平面平行

          运用线、面平行定理可以解决的问题是:1)判断直线与平面是否平行。2)过定点作直线平行已知平面。3)过定点作平面平行已知直线。
          运用两平面平行定理可以解决的问题是:1)判断两平面是否平行。2)过定点作平面平行已知平面。

  2. 直线与平面、平面与平面相交

    本节讨论直线与平面相交如何求交点,两平面相交如何求交线的问题。
    直线与平面相交,交点只有一个。它既属于直线,也属于平面,因此交点是直线与平面的共有点。
    两平面相交,其交线为一条直线。它是两平面的共有线。求交线时只要求出属于该交线上的两点或一个共有点和交线的方向即可作出交线。
    交点、交线是互有联系的。根据求共有点共有线具体作图过程的需要以及一般情况与特殊情况下相交的相互关系,要先从特殊情况出发,然后再谈一般的情况。作图上归纳起来有三种:1)利用投影的积聚性求解;1)利用辅助平面法求解;3)换面法求解。

  3. 直线与平面、平面与平面垂直

    直线与平面垂直和两平面垂直问题均为相交的特殊情况,在工程中用图解法解题时被广泛应用,因此讨论这种情况的投影特征及作图方法是必要的。
    求平面的垂线的关键是在投影图中如何定出其方向问题。
    解决两平面垂直问题的依据是掌握相应的定理,而基础是直线与平面垂直。
    利用这节线面垂直和两面垂直原理可以解决这些问题:1)一般位置直线间垂直问题;2)距离的度量问题;3)角度的度量问题。

第六章 空间几何问题的综合求解

     在前面章节偏重于探求每一个问题的投影特征、制图原理与方法。在这些的基础上,本章举例讨论有关相对位置的综合性题目的解法。空间几何元素点、线、面问题的综合分析是指在解决涉及点、直线、平面之间的诸如从属、距离、平行、相交、垂直、夹角、实长、实形等综合问题的解题过程。综合问题涉及多项内容,需要多种作图方法才能解决。综合性题目一般需要满足两个或两个以上的条件,求解这类问题空间分析上经常采用“轨迹法”,有时也用“反推法”。这两种方法经常是相辅相成,不可分割的。综合题目的投影图解题,还须熟练掌握基本作图问题的投影画法

  1. 综合问题分析与图解的一般步骤

    综合题目的解题一般遵循着以下步骤:
    1.分析已知条件。根据给出的投影图,想像所给出的几何元素的空间情况。分析各元素之间及其与投影面所处的相对位置的情况。
    2.明确所求结果。分析题目求解属于哪一类问题,建立已知条件与所求结果之间的几何联系,寻求解题途径。
    3.确定解题步骤。同一题目常可能有不同的作图方法,要进行分析、比较最后确定最简捷的解题方法。 
    4.完成投影作图。按上面的分析,在投影图上一步一步完成作图,作图过程中注意尽量准确,减少误差。
    5.查、核对、讨论 。对所得结果进行检查、核对。分析讨论不同条件下的求解答案数量。答案经常是唯一的,但有时会有多解。

  2. 空间几何元素定位问题

    空间点、线、面相互间的定位问题是画法几何实际应用的重要课题之一。定位问题即在投影图上确定空间几何元素和几何体的投影。本节通过举例讨论用不同方法解决此类问题。

  3. 空间几何元素度量问题

    空间点、线、面相互间的定度量问题是画法几何实际应用的重要课题之一。度量问题即根据几何元素和几何体的投影确定他们的实长、实形、角度、距离等。本节通过举例讨论用不同方法解决此类问题。

第七章 立体的投影

所谓立体就是有体积的空间三维形体,其空间形状由其封闭围合的表面决定。其中最基础的立体称为基本几何体。我们日常见到的复杂形体都是由这些基本几何体组合而成的,本章节讲解的立体就是基本几何体。基本几何体依表面特性不同分为平面体和曲面体。凡是围合立体的表面均为平面的基本几何体,我们称之平面体。如果进一步对平面体进行分类,平面体的基本形式又分为两类:棱锥和棱柱;相应的围合平面体的表面种类又可分为棱面和底面(或者端面)两种。基本几何体第二类称为曲面体,其定义为凡是表面包含有曲面的基本几何体,曲面体中的曲面是有相应规范性要求的,相应曲面体又可进一步分为圆柱、圆锥、圆球和圆环四类。 根据立体表达需要,在定义上把物体向投影面投影所得到的图形称为视图,其中正面V面投影称为主视图; 水平面H面投影称为俯视图; 侧面W面投影称为左视图,三个视图统称三视图。相应基于点线面投影规律把三视图投影规律表述为主视图和俯视图长对正;主视图和左视图高平齐;俯视图和左视图宽相等。根据日常见到的复杂形体都是由基本几何体组合而成的,为了满足复杂形体表达需要,在立体章节将讲解有关基本几何体面上求点、平面截交、基本几何体相贯、圆柱螺旋线、圆柱螺旋面和螺旋梯等节点内容,以作为复杂形体表达的基础。

  1. 立体三视图的形成及投影规律

    立体也就是基本几何体依围合立体的表面特性不同分为平面体和曲面体。平面体又分为棱锥和棱柱两类;而曲面体又分为圆柱、圆锥、圆球和圆环四类。立体在三面投影体系的表达上,同样要符合点线面在投影系中的投影规律。但由于决定立体形状的是围合成立体的表面形状及表面间的相对位置,相应在表达上,重点关注的是立体的表面形状、表面间的相对位置以及立体表面与投影面的相对位置关系。而立体相对于投影面距离远近都不影响对该立体的投影表达,因此在投影图上反映点线面到投影面具体距离的参照投影轴可以去掉。相应基于重点关注的立体的表面形状及表面间的相对位置表达需要,立体在三面投影体系上的投影规律表述上,相应将同时对应表达立体在左右方向长度大小的水平面H面和正面V面相邻投影连线垂直H/V轴线转变为长对正;将同时对应表达立体在上下方向高度大小的正面V面和侧面W面相邻投影连线垂直V /W轴线转变为高平齐;将同时对应表达立体在前后方向宽度大小的水平面H面和侧面W面相邻投影连线垂直H/W轴线转变为宽相等。另外在定义上把物体在投影面上投影称为视图,其中正面投影称为主视图; 水平面投影称为俯视图; 侧面投影称为左视图,三个视图统称三视图。

  2. 平面体及其截交

    平面立体中由上下平行对等多边形端面及垂直于上下端面的矩形侧面围合而成的平面体称之为棱柱;而平面立体中由锥顶(顶点)、多边形下端面及等腰三角形侧面围合而成的平面体称之为棱锥。在立体视图画法表达中,首先要有一个理念,就是先定位,后定形。有了这个理念后,棱锥画图步骤为先绘制实形端面,然后确定锥顶,继续连接相应棱线以确定棱面,最后进行棱面分析判断。对应棱柱画图步骤为先绘制上下等形实形端面,然后连接相应棱线以确定棱面,最后进行棱面分析判断。所谓平面截交概念就是用平面截切立体,该截切用平面称为截平面,简称截面;相应截面与立体表面存在交线,称为截交线,简称交线;这些交线将围合成对应平面多边形,该平面多边形称为截断面,简称断面;最后以断面为界,将相应方向部分形体移除,表达出留下部分形体,这就是截交。截交求解第一步是原形判断;第二步是求特殊点;第三步是按顺序连点画出立体表面与截面的交线以及不同截面的截交线;第四步为判断交线可见性;第五步是以棱线及边线上交点为界画好棱线及边的起止;第六步是调整断面可见性。求解立体表面面上点步骤第一步为判断;第二步为利用截面法确定过点的一条面上特殊截交线以确定该点具体位置。

  3. 曲面立体

    本节主要介绍圆柱、圆锥、圆球、圆环的组成及其投影,在圆柱、圆锥、圆球、圆环表面上取点的方法。

  4. 截交线

    本节主要介绍截交线的定义、特性、空间形状,截交线的求解思路和求解过程,用典型的例解来诠释平面与圆锥、圆柱、圆球以及组合立体表面相交产生的不同的截交线的求解方法。

  5. 相贯线

    本节主要介绍相贯线的定义、特性、空间形状,相贯线的求解思路、求解过程,用典型的例解来诠释平面体与平面体表面相交、平面体与锥柱球表面相交、圆柱圆锥圆球之间表面相交产生的不同的相贯线的求解方法,最后还介绍了相贯线的特殊情况。

  6. 圆柱螺旋面

    一动点沿着圆柱的直母线作等速运动,同时该母线绕圆柱面的轴线作等角速度旋转运动,动点的这种复合运动的轨迹即为圆柱螺旋线。 螺旋面是工程上广泛应用的一种曲面。一直母线以柱面螺旋线为导线,以导圆柱的轴线为直导线,且始终平行于与轴线垂直的一导平面运动所形成的曲面称为平螺旋面。


预备知识

1.初等几何的相关基本知识。

2.绘图工具使用的基本技能。

3.空间逻辑思维的基本能力。

证书要求

学习进度+章测试  40 分

期末考试成绩  50 分

论坛成绩  10 分


本课程无证书。