福州大学

高等数学B(上)

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课程概述

高等数学B(上)面向理工类本科一年级学生。采用同济大学数学系编的《微积分》(第三版 上册)作为教材。共分为四章,第一章极限与连续、第二章一元函数微分学、第三章一元函数积分学、第四章微分方程。通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,从而掌握一元函数微积分的基本思想和基本方法,为后继课程的学习提供必备的数学知识。通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力,逻辑推理能力等数学素质。同时还要培养学生独立学习和思考的能力,并具有比较熟练的运算能力和综合运用数学知识去分析问题和解决问题的能力。


主讲教师

    曾勋勋(福建省第二届高校青年教师教学竞赛特等奖)

   王平(第二届全国高校数学微课课程教学设计竞赛华东赛区特等奖)   

课程顾问

   徐荣聪 教授(曾任教育部数学基础课程教学指导委员会委员)

   黄建华 教授(曾任福州大学数计学院教学中心主任)

   许德泓 副研究员(福州大学教务处副处长)

依托团队

   福州大学数学公共基础课团队


证书要求

单元测验及作业占40%,讨论区表现占10%;课程结束考试50%。

60分至84分为合格,85分至100分为优秀。


本课程无证书。

预备知识

中学数学知识

授课大纲

第一章 极限与连续  

第一讲 数列的极限

1.1.1数列极限的定义                   

1.1.2数列极限的性质

  

第二讲 函数的极限

1.2.1自变量趋于无穷大时函数的极限

1.2.2自变量趋于有限值时函数的极限

1.2.3单侧极限

1.2.4函数极限的定义

  

第三讲 极限的运算法则
1.3.1无穷小

1.3.2无穷大        

1.3.3极限的运算法则

  

第四讲 极限存在准则与两个重要极限
1.4.1夹逼准则

1.4.2一个重要极限  

1.4.3单调有界收敛准则与重要极限

  

第五讲 无穷小的比较

1.5.1无穷小的比较                   

1.5.2等价无穷小的代换

  

第六讲 函数的连续性与连续函数的运算
1.6.1函数的连续性         

1.6.2函数的间断点    

1.6.3连续函数的运算

1.6.4 幂指函数求极限

  

第七讲 闭区间上连续函数的性质

1.7.1最大值与最小值定理
1.7.2零点定理与介值定理

 

第二章 一元函数微分学  

第一讲 导数的概念

2.1.1导数的概念                    

2.1.2单侧导数与导数的几何意义

2.1.3函数的可导性与连续性的关系 

  
第二讲 求导法则

2.2.1四则运算的求导法则            

2.2.2反函数的导数     

2.2.3复合函数的导数 

  
第三讲 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
2.3.1隐函数的导数                  

2.3.2对数、指数求导法

2.3.3相关变化率

  
第四讲 高阶导数
2.4.1高阶导数的定义                  

2.4.2直接法举例

2.4.3 高阶导数的运算法则

2.4.4间接法求高阶导数

2.4.5参数方程求导及其高阶导数

  
第五讲 函数的微分与函数的线性逼近
2.5.1微分的定义                  

2.5.2微分的求法与一阶微分形式不变性

2.5.3微分的意义与应用

           
第六讲 微分中值定理
2.6.1罗尔定理                     

2.6.2拉格朗日中值定理

2.6.3柯西中值定理

  
第七讲 泰勒公式
2.7.1泰勒公式                      

2.7.2麦克劳林公式

   
第八讲 洛必达法则
2.8.1洛必达法则                  

2.8.2其他类型未定式的解决方法

  

第九讲 函数单调性与曲线凹凸性的判别法
2.9.1函数单调性的判别法          

2.9.2曲线的凹凸性及其判别法

  
第十讲 函数的极值与最大、最小值

2.10.1函数的极值               

2.10.2函数的最值

2.10.3 函数最值的实际应用

   
第十一讲 曲线的曲率

2.11曲率

 

第三章 一元函数积分学
第一讲 不定积分的概念及其性质
3.1.1不定积分的概念                

3.1.2不定积分的性质

   
第二讲 不定积分的换元积分法
3.2.1不定积分的第一类换元法        

3.2.2 不定积分的第一类换元法举例

3.2.3不定积分的第二类换元法       

3.2.4不定积分的第二类换元法举例

   
第三讲 不定积分的分部积分法
3.3.1 不定积分的分部积分法        

3.3.2 不定积分的分部积分法举例

  
第四讲 有理函数的不定积分
3.4.1有理函数的不定积分          

3.4.2简单无理函数的不定积分

3.4.3三角有理式的不定积分

   
第五讲 定积分
3.5.1定积分的定义                

3.5.2定积分的性质

  
第六讲 微积分基本定理
3.6.1积分上限的函数及其导数      

3.6.2牛顿-莱布尼茨公式

   
第七讲 定积分的换元法与分部积分法
3.7.1定积分的换元法              

3.7.2定积分的分部积分法

   
第八讲 定积分的几何应用举例
3.8.1元素法       

3.8.2.1求直角坐标系下平面图形的面积1

3.8.2.2求直角坐标系下平面图形的面积2

3.8.2.3求直角坐标系下平面图形的面积3(参数方程)

3.8.3极坐标系下求平面图形的面积     

3.8.4求旋转体的体积

3.8.5柱壳法

3.8.6平行截面面积为已知的立体求体积

3.8.7直角坐标系下求平面曲线的弧长

3.8.8其他情形求平面曲线的弧长

   
第九讲 定积分的物理应用举例
3.9.1定积分的物理应用——作功

3.9.2定积分的物理应用——水压力

3.9.3定积分的物理应用——引力

     
第十讲 平均值
3.10平均值

    
第十一讲 反常积分
3.11.1无穷限的反常积分           

3.11.2无界函数的反常积分

 

第四章 微分方程
第一讲 微分方程的基本概念
4.1微分方程的基本概念 

   
第二讲 可分离变量的微分方程
4.2可分离变量的微分方程

   
第三讲 一阶线性微分方程
4.3一阶线性微分方程

   
第四讲 可用变量代换法求解的一阶微分方程
4.4.1可用变量代换法求解的一阶微分方程
4.4.2伯努利方程

   
第五讲 可降阶的二阶微分方程
4.5.1 可降阶的二阶微分方程(y''=f(x)、 y''=f(x,y')型)     
4.5.2 可降阶的二阶微分方程(y''=f(y,y')型)

   
第六讲 线性微分方程解的结构
4.6.1二阶齐次线性微分方程解的结构

4.6.2二阶非齐次线性微分方程解的结构

    
第七讲 二阶常系数线性微分方程
4.7.1二阶常系数齐次线性微分方程

4.7.2二阶常系数非齐次线性微分方程(                   


4.7.3二阶常系数非齐次线性微分方程(        

参考资料

1.微积分(上册)(第三版), 同济大学, 高等教育出版社, 2011。

2.微积分学习指导书,同济大学等编,高等教育出版社,2007。

3.高等数学辅导(修订本),北京大学数学科学学院,科学技术文献出版社,2000。

4.高等数学习题集,北京大学数学科学学院, 科学技术文献出版社,1999。

5.高等数学解题过程的分析和研究,钱本昌著,科学出版社,1999。

6.微积分习题课教程,吉林大学数学学院,高等教育出版社,2006。

7.微积分典型例题与解法,尚书霞、杨芝燕编著,机械工业出版社,2013。

8.微积分同步辅导,孙玉光、李宏主编,浙江大学出版社,2009。

9.数学实验(MATLAB版)(第3版),韩明、王家宝、李林编著,同济大学出版社,2015。