华东师范大学

图片
课程概述

         华东师大数学系的“数学分析”课程有着悠久的传统,经过几代人的努力,现在已经成为国内有很高声誉的国家级精品课程,所编写的《数学分析》教材发行量居国内同名教材之首,被数百所高校采用。

      “数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为6个小课程。“数学分析(一)”的教学内容包括实数理论、数列极限、函数极限、函数的连续性共计四章内容,学习时间为9周。

    “数学分析(一)”课程目标是通过系统学习和相关的数学训练,掌握极限、连续和实数理论等基础知识;使学生逐步提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,打好理论基础为后继学习做准备;让学生了解微积分的创立是推动现代科学技术发展的火车头,是人类文明的成果,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

       本课程以华东师大数学系编写的《数学分析》为教材,配合《数学分析学习指导书》,由华东师大“数学分析”教学团队精心打造而成。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。

        课程学习成绩由两部分构成:

    (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,所有单元测验分数占课程成绩的40%

    (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占60%

        完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。


预备知识

高中毕业所要求的数学知识。

授课大纲

 

第一章   实数集与函数

 

数学分析讨论的基本对象是定义在实数集上的函数,实数理论是本课程的重要基础。本章通过引入实数的不足近似和过剩近似,复习实数的基本性质,函数的概念,学习数集的确界,为后面深入学习作必要的准备。具体内容包括:

 

第一讲       实数的基本性质 1

第二讲       实数的基本性质 2

第三讲       数集的确界

第四讲       确界原理

习题课一       数集的界与确界

第五讲       函数的概念

第六讲       函数的特性

第七讲       函数的有界性

习题课二       具有特殊性质的函数

 

第二章   数列极限

 

数学分析研究的基本工具是极限,极限理论是从初等数学向高等数学转化的基础。本章通过学习数列的极限理论,要求理解数列极限的概念,懂得数列发散与收敛的意义,掌握收敛极限的基本性质,学会讨论数列极限存在的条件,并据此分析具有一定难度的数列极限。具体内容包括:

 

第一讲       数列极限 1

第二讲       数列极限 2

第三讲       数列的性质 1

第四讲       数列的性质 2

习题课三       数列极限

第五讲       单调有界定理

第六讲       致密性与柯西准则

习题课四    数列极限的存在

 

第三章   函数极限

 

本章在数列极限的基础上学习函数的极限理论。主要学习函数极限的概念,掌握函数极限的基本性质,讨论函数极限存在的条件以及函数极限与数列极限的关系,掌握一些典型的函数极限且据此讨论具有一定难度的极限。具体内容包括:

 

第一讲       函数极限的概念 1

第二讲       函数极限的概念 2

第三讲       函数极限的概念 3

第四讲       函数极限的性质

第五讲       归结原则

第六讲       单调有界定理及柯西准则

第七讲       两个重要的函数极限

习题课五       函数的极限1

第八讲       无穷小量的概念

第九讲       无穷小量的阶

第十讲       无穷大量

第十一讲       曲线的渐近线

习题课六       函数的极限2

 

 

第四章   函数的连续性

 

    借助极限这个工具,本章学习一类重要的函数——连续函数。主要学习连续函数的概念,包括函数间断的分类,连续函数所具有的性质(局部性质和整体性质),并且学习一致连续的概念。具体内容包括:

 

第一讲       函数连续的概念

第二讲       函数的间断点

第三讲       连续函数的局部性质

第四讲       连续函数的整体性质

第五讲       反函数的连续性

习题课七       函数的连续性

第六讲       一致连续性

第七讲       初等函数的连续性

习题课八       函数的一致连续性


参考资料

1.《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系  高等教育出版社

推荐理由:

国内影响最大的数学分析教材,内容组织合理,易学易教,是本课程主要的参考书。

2.《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社

推荐理由:

经典的数学分析百科全书 , 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的基地班学生是一本较好的参考书。

3.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社

推荐理由:

本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少难度较大的题目。适合要求进一步提高数学分析素养的同学。

4.《数学分析》 李成章 黄玉民 科学出版社

推荐理由:

总体内容与华东师大教材相仿。书中有大量的习题可作为补充练习题。

5. 《数学分析》 陈纪修等 高等教育出版社

推荐理由:

书中对三角级数阐述的较为详细 ,可供参考。

6. 《数学分析学习指导书》 毛羽辉 韩士安 吴畏 高等教育出版社

推荐理由:

题型丰富 , 可供较为优秀学生选读。