数学分析(六)
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spContent=“数学分析”是一门重要的数学基础课程。本课程重视数学理论的完整性和逻辑性,对学生数学思想的形成,理性思维的训练,后继课程的学习都有着及其重要的意义;是学生今后学习数学,进行数学理论研究,从事数学应用和数学教学的理论基础。
—— 课程团队
课程概述

    华东师大数学系的“数学分析”课程有着悠久的传统,经过几代人的努力,现在已经成为国内有很高声誉的国家级精品课程,所编写的《数学分析》教材发行量居国内同名教材之首,被数百所高校采用。

  “数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为6个小课程。“数学分析(六)”的教学内容包括含参量积分,曲线积分,重积分,曲面积分,学习时间为10周。

  “数学分析(六)”课程目标是在前期课程学习的基础上,学习多元函数的积分学,掌握含参量积分,曲线积分,重积分,曲面积分等多元函数积分学的基本思想方法,为后继学习打好基础;让学生了解微积分的创立是推动现代科学技术发展的火车头,是人类文明的成果,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

  “数学分析”慕课以华东师大数学系编写的《数学分析》为教材,配合《数学分析学习指导书》,由华东师大“数学分析”教学团队精心打造而成。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。

 


课程大纲

第十九章 含参量积分

 

对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.

 

第一讲 含参正常积分的定义和连续性

第二讲 含参正常积分的可微性

第三讲 含参正常积分的可积性

第四讲 习题课一

第五讲 含参反常积分的一致收敛性的定义和判别

第六讲 含参反常积分一致收敛性的判别(续)

第七讲 含参反常积分的连续性和可微性

第八讲 含参反常积分的可积性

第九讲 含参量暇积分

第十讲 习题课二

第十一讲 Γ函数

第十二讲 Β函数

  

第二十章 曲线积分

 

曲线积分是定积分在曲线上的推广,包括第一型曲线积分和第二型曲线积分,在计算曲线质量和变力做功问题有着直接的应用。.

 

第一讲 第一型曲线积分的定义、性质

第二讲 第一型曲线积分的计算

第三讲 第二型曲线积分的定义、性质

第四讲 第二型曲线积分的计算

第五讲 两型曲线积分之间的联系

第六讲 习题课

  

第二十一章  重积分

 

重积分是定积分在多元函数情形的推广,在数学和物理中有着非常广泛的应用。

 

第一讲 平面图形的面积

第二讲 二重积分的定义及存在性

第三讲 二重积分的性质

第四讲 二重积分在一般区域上的计算

第五讲 习题课一

第六讲 格林公式

第七讲 曲线积分与路线的无关性

第八讲 二重积分的变量变换公式

第九讲 二重积分的极坐标变换

第十讲 习题课二

第十一讲 多重积分的定义、性质

第十二讲 三重积分的计算

第十三讲 三重积分的变量变换公式

第十四讲 曲面的面积

第十五讲 习题课三

第十六讲 重积分应用2

第十七讲 反常二重积分

 

第二十二章 曲面积分

 

曲面积分是定义在曲面上的积分,包括第一型曲面积分和第二型曲面积分,在计算曲面质量和流量、磁通量等问题中有着直接的应用。.

 

第一讲 第一型曲面积分的定义、性质以及计算

第二讲 第一型曲面积分的计算

第三讲 侧和第二型曲面积分的定义

第四讲 第二型曲面积分的性质和计算

第五讲 第二型曲面积分的计算(续)以及两型曲面积分之间的联系

第六讲 习题课一

第七讲 高斯公式

第八讲 斯托克斯公式

第九讲 习题课二

第十讲 场论初步1

第十一讲 场论初步2

预备知识

高中毕业所要求的数学知识,学习过华东师大“数学分析”(一)到(五)慕课,或者学习过“高等数学”中相关内容。

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。 

课程学习成绩由三部分构成:

(1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,所有单元测验分数占课程成绩的35%;

(2)单元作业占15%;

(3)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占50%。

        完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>80分)的可获得优秀证书。


参考资料

1.《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系  高等教育出版社

推荐理由:

国内影响最大的数学分析教材,内容组织合理,易学易教,是本课程主要的参考书。

2.《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社

推荐理由:

经典的数学分析百科全书 , 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的基地班学生是一本较好的参考书。

3.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社

推荐理由:

本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少难度较大的题目。适合要求进一步提高数学分析素养的同学。

4.《数学分析》 李成章 黄玉民 科学出版社

推荐理由:

总体内容与华东师大教材相仿。书中有大量的习题可作为补充练习题。

5. 《数学分析》 陈纪修等 高等教育出版社

推荐理由:

书中对三角级数阐述的较为详细 ,可供参考。

6. 《数学分析学习指导书》 毛羽辉 韩士安 吴畏 高等教育出版社

推荐理由:

题型丰富 , 可供较为优秀学生选读。