数学分析(五)
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课程评价
spContent=“数学分析”是一门重要的数学基础课程。本课程重视数学理论的完整性和逻辑性,对学生数学思想的形成,理性思维的训练,后继课程的学习都有着及其重要的意义;是学生今后学习数学,进行数学理论研究,从事数学应用和数学教学的理论基础。
—— 课程团队
课程概述

  华东师大数学系的“数学分析”课程有着悠久的传统,经过几代人的努力,现在已经成为国内有很高声誉的国家级精品课程,所编写的《数学分析》教材发行量居国内同名教材之首,被数百所高校采用。

  “数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为6个小课程。“数学分析(五)”的教学内容包括多元函数的极限与连续,多元函数微分学,隐函数定理及其应用共计三章内容,学习时间为10周。

  “数学分析(五)”课程目标是在前期课程学习的基础上,学习多元函数的微分学,掌握平面上的完备性定理、多元函数的极限和连续、闭区域上连续函数的性质,多元函数的可微性与偏导数、多元复合函数微分法、方向导数与梯度、泰勒公式和极值,隐函数和隐函数组存在性定理、隐函数与隐函数组的导数与微分、几何应用、条件极值等知识,掌握多元函数微分学的基本思想方法,为后继学习打好基础;让学生了解微积分的创立是推动现代科学技术发展的火车头,是人类文明的成果,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

  “数学分析”慕课以华东师大数学系编写的《数学分析》为教材,配合《数学分析学习指导书》,由华东师大“数学分析”教学团队精心打造而成。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。


课程大纲

第十六章 多元函数的极限与连续

 

多元函数是一元函数的推广, 它保留了一元函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质. 本章着重讨论二元函数, 由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.

 

第一讲 平面点集I

第二讲 平面点集 II

第三讲 R2上的完备性定理

第四讲 二元函数与n 元函数

第五讲 习题课一

第六讲 二元函数的极限 I

第七讲 二元函数的极限 II

第八讲 累次极限

第九讲 习题课二

第十讲 二元函数的连续性

第十一讲 有界闭区域上连续函数的性质

第十二讲 习题课三

 

 

 

第十七章 多元函数微分学

 

   与一元函数一样,可微性是多元函数微分学最基本的概念. 而对多元函数的中一个变量求导就是偏导数.

 

第一讲 全微分和偏导数

第二讲 可微性条件

第三讲 可微性的几何意义

第四讲 可微性的几何意义II

第五讲 习题课一

第六讲 复合函数的求导法则

第七讲 复合函数求导的例

第八讲 复合函数的全微分

第九讲 方向导数与梯度

第十讲 习题课二

第十一讲 高阶偏导数 I

第十二讲 高阶偏导数 II

第十三讲 中值定理

第十四讲 泰勒公式

第十五讲 极值问题

第十六讲 极值的例

第十七讲 习题课三

 

 

第十八章  隐函数定理及其应用

 

隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.

 

第一讲 隐函数的概念

第二讲 隐函数定理

第三讲 隐函数可微性定理

第四讲 隐函数求导的例

第五讲 隐函数组定理

第六讲 隐函数组求导的例

第七讲 反函数组与坐标变换

第八讲 习题课一

第九讲 平面曲线的切线与法线

第十讲 空间曲线的切线与法平面

第十一讲 曲面的切平面与法线

第十二讲 拉格朗日乘数法

第十三讲 拉格朗日乘数法应用举例

第十四讲 习题课二


预备知识

高中毕业所要求的数学知识,学习过华东师大“数学分析(一)”、“数学分析(二)”、“数学分析(三)”和“数学分析(四)”慕课,或者学习过“高等数学”中相关内容。

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。 

课程学习成绩由三部分构成:

(1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,所有单元测验分数占课程成绩的35%;

(2)单元作业占15%;

(3)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占50%。

        完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>80分)的可获得优秀证书。


参考资料

1.《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系  高等教育出版社

推荐理由:

国内影响最大的数学分析教材,内容组织合理,易学易教,是本课程主要的参考书。

2.《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社

推荐理由:

经典的数学分析百科全书 , 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的基地班学生是一本较好的参考书。

3.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社

推荐理由:

本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少难度较大的题目。适合要求进一步提高数学分析素养的同学。

4.《数学分析》 李成章 黄玉民 科学出版社

推荐理由:

总体内容与华东师大教材相仿。书中有大量的习题可作为补充练习题。

5. 《数学分析》 陈纪修等 高等教育出版社

推荐理由:

书中对三角级数阐述的较为详细 ,可供参考。

6. 《数学分析学习指导书》 毛羽辉 韩士安 吴畏 高等教育出版社

推荐理由:

题型丰富 , 可供较为优秀学生选读。