华东师范大学

数学分析(三)

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课程概述

  华东师大数学系的“数学分析”课程有着悠久的传统,经过几代人的努力,现在已经成为国内有很高声誉的国家级精品课程,所编写的《数学分析》教材发行量居国内同名教材之首,被数百所高校采用。

  “数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为6个小课程。“数学分析(三)”的教学内容包括不定积分,定积分,定积分的应用,反常积分四章内容,学习时间为10周。

  “数学分析(三)”课程目标是在“数学分析(一)、(二)”学习的基础上,通过进一步的学习和训练,掌握不定积分概念及计算,定积分的基本概念、计算、可积性理论以及定积分在几何和物理学中的应用,反常积分的概念和收敛性的判别法等知识;提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,为后继学习打好基础;让学生了解微积分的创立是推动现代科学技术发展的火车头,是人类文明的成果,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

  “数学分析”慕课以华东师大数学系编写的《数学分析》为教材,配合《数学分析学习指导书》,由华东师大“数学分析”教学团队精心打造而成。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。


证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。

  课程学习成绩由两部分构成:

  (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题、填空题、是非题,所有单元测验分数占课程成绩的40%

  (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占60%

  完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。


预备知识

高中毕业所要求的数学知识,学习过华东师大“数学分析(一)”、“数学分析(二)”慕课,或者学习过“高等数学”中相关内容。

授课大纲

第八章 不定积分

 

不定积分是求导运算的逆运算,是计算定积分的基础。

 

第一讲  原函数与不定积分

第二讲   不定积分的几何意义、基本积分表

第三讲   换元积分法:第一换元积分法

第四讲  换元积分法:第二换元积分法

第五讲   分部积分法

第六讲   习题课一

第七讲   有理函数的部分分式分解

第八讲   有理真分式的递推公式

第九讲   三角函数有理式的不定积分

第十讲   某些无理函数的不定积分(1)

第十一讲   某些无理函数的不定积分(2)

第十二讲   习题课二

 

第九章 定积分

 

定积分是积分学的核心概念,源于数学和物理中的一些基本问题,有着极其广泛的应用。

 

第一讲  三个典型问题

第二讲  定积分定义

第三讲  牛顿—莱布尼茨公式

第四讲  可积条件

第五讲  可积函数类

第六讲  习题课一

第七讲  定积分的运算性质

第八讲  定积分的基本性质

第九讲  积分第一中值定理

第十讲  习题课二

第十一讲  变限积分,原函数的存在性

第十二讲  积分第二中值定理

第十三讲  换元积分法

第十四讲  分部积分法,泰勒公式的积分型余项

第十五讲  习题课三

第十六讲  上和与下和的性质

第十七讲  可积的充要条件

 

 

第十章  定积分的应用

 

本章讨论定积分在数学和物理上的一些基本应用。

 

第一讲  直角坐标方程表示的平面图形的面积

第二讲  参数方程、极坐标表示的平面图形的面积

第三讲  由平行截面面积求体积

第四讲  平面曲线的弧长

第五讲  曲率

第六讲  旋转曲面的面积

第七讲  液体静压力,引力,功与平均功率

第八讲  定积分的近似计算

 

第十一章  反常积分

 

本章将定积分推广到积分区间是无穷区间和被积函数是无界函数情形。

 

第一讲  问题提出,两类反常积分的定义

第二讲  无穷积分的性质

第三讲  非负函数无穷积分的收敛判别法

第四讲  一般函数无穷积分的判别法

第五讲  瑕积分的性质与收敛判别

第六讲  习题课

 


参考资料

1.《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系  高等教育出版社

推荐理由:

国内影响最大的数学分析教材,内容组织合理,易学易教,是本课程主要的参考书。

2.《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社

推荐理由:

经典的数学分析百科全书 , 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的基地班学生是一本较好的参考书。

3.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社

推荐理由:

本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少难度较大的题目。适合要求进一步提高数学分析素养的同学。

4.《数学分析》 李成章 黄玉民 科学出版社

推荐理由:

总体内容与华东师大教材相仿。书中有大量的习题可作为补充练习题。

5. 《数学分析》 陈纪修等 高等教育出版社

推荐理由:

书中对三角级数阐述的较为详细 ,可供参考。

6. 《数学分析学习指导书》 毛羽辉 韩士安 吴畏 高等教育出版社

推荐理由:

题型丰富 , 可供较为优秀学生选读。