华东师范大学

数学分析(四)

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课程概述

华东师大数学系的“数学分析”课程有着悠久的传统,经过几代人的努力,现在已经成为国内有很高声誉的国家级精品课程,所编写的《数学分析》教材发行量居国内同名教材之首,被数百所高校采用。

  “数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为6个小课程。“数学分析(四)”的教学内容涵盖数项级数,函数项级数,幂级数和傅里叶级数四章内容,学习时间为10周。

  “数学分析(四)”课程目标是在“数学分析(一)、(二)、(三)”学习的基础上,通过进一步的学习和训练,掌握无穷级数收敛的概念、收敛的充要条件及收敛性的各种判别法,函数列和函数项级数的一致收敛概念、一致收敛柯西准则以及一致收敛的判别方法,幂级数的解析性质、函数展开幂级数的方法,傅里叶级数的性质、展开及收敛性等知识;提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,为后继学习打好基础;让学生了解微积分的创立是推动现代科学技术发展的火车头,是人类文明的成果,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

       “数学分析”慕课以华东师大数学系编写的《数学分析》为教材,配合《数学分析学习指导书》,由华东师大“数学分析”教学团队精心打造而成。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。

  课程学习成绩由两部分构成:

  (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题、填空题、是非题,所有单元测验分数占课程成绩的40%

  (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占60%

  完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。

预备知识

高中毕业所要求的数学知识,学习过华东师大“数学分析(一)”、“数学分析(二)”和“数学分析(三)”慕课,或者学习过“高等数学”中相关内容。

授课大纲

第十二章 数项级数

 

级数是数学分析三大组成部分之一,是逼近理论的基础,是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.

 

第一讲 级数收敛的概念

第二讲 收敛级数的性质1

第三讲 收敛级数的性质与例子

第四讲 正项级数的概念,比较判别法

第五讲 比较判别法的极限形式

第六讲 正项级数的比式判别法

第七讲 根式判别法

第八讲 积分判别法

第九讲 拉贝判别法

第十讲 习题课一

第十一讲 交错级数,绝对收敛

第十二讲 绝对收敛级数的性质-级数的重排

第十三讲 绝对收敛级数的性质-级数的乘积

第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

第十五讲 习题课二

 

 

第十三章 函数列与函数项级数

 

函数项级数的收敛性要比数项级数复杂得多,特别是有关一致收敛的内容就更为丰富,它在理论和应用上有着重要的地位.

 

第一讲 函数列的概念

第二讲 函数列的一致收敛性,柯西准则

第三讲 余项准则,一致收敛的例

第四讲 函数项级数的一致收敛性

第五讲 函数项级数一致收敛判别法

第六讲 一致收敛级数例题

第七讲 习题课一

第八讲 一致收敛函数列的性质1

第九讲 一致收敛函数列的性质2

第十讲 一致收敛函数项级数的性质

第十一讲 习题课二

 

 

第十四章  幂级数

 

幂级数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具.

 

第一讲 幂级数的收敛区间1

第二讲 幂级数的收敛区间2

第三讲 幂函数的性质

第四讲 幂级数的运算

第五讲 习题课一

第六讲 泰勒级数

第七讲 初等函数的幂级数展开式1

第八讲 初等函数的幂级数展开式2

第九讲 幂级数展开的例

第十讲 习题课二

第十一讲 复变量的指数函数,欧拉公式

 

 

第十五章  傅里叶级数

 

傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用, 是又一类重要的级数.

 

第一讲 三角级数,正交函数系

第二讲 2π为周期函数的傅里叶级数

第三讲 收敛定理

第四讲 傅里叶展开的例

第五讲 2l为周期的函数的傅里叶级数

第六讲 偶函数与奇函数的傅里叶级数

第七讲

第八讲 收敛定理的证明——预备定理1

第九讲 收敛定理的证明——预备定理2

第十讲 收敛定理的证明

 

 


参考资料

1.《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系  高等教育出版社

推荐理由:

国内影响最大的数学分析教材,内容组织合理,易学易教,是本课程主要的参考书。

2.《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社

推荐理由:

经典的数学分析百科全书 , 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的基地班学生是一本较好的参考书。

3.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社

推荐理由:

本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少难度较大的题目。适合要求进一步提高数学分析素养的同学。

4.《数学分析》 李成章 黄玉民 科学出版社

推荐理由:

总体内容与华东师大教材相仿。书中有大量的习题可作为补充练习题。

5. 《数学分析》 陈纪修等 高等教育出版社

推荐理由:

书中对三角级数阐述的较为详细 ,可供参考。

6. 《数学分析学习指导书》 毛羽辉 韩士安 吴畏 高等教育出版社

推荐理由:

题型丰富 , 可供较为优秀学生选读。