华东师范大学

数学分析(二)

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课程概述

  华东师大数学系的“数学分析”课程有着悠久的传统,经过几代人的努力,现在已经成为国内有很高声誉的国家级精品课程,所编写的《数学分析》教材发行量居国内同名教材之首,被数百所高校采用。

  “数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为6个小课程。“数学分析(二)”的教学内容包括导数与微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性共计三章内容,学习时间为10周。

  “数学分析(二)”课程目标是在“数学分析(一)”学习的基础上,通过进一步的学习和训练,掌握导数、微分、微分中值定理以及实数完备性等基础知识和理论,提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,为后继学习打好基础;让学生了解微积分的创立是推动现代科学技术发展的火车头,是人类文明的成果,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

  “数学分析”慕课以华东师大数学系编写的《数学分析》为教材,配合《数学分析学习指导书》,由华东师大“数学分析”教学团队精心打造而成。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。


证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。

  课程学习成绩由两部分构成:

  (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题、填空题、是非题,所有单元测验分数占课程成绩的40%

  (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占60%

  完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。



预备知识

高中毕业所要求的数学知识,学习过“数学分析(一)”,或者自学过“高等数学”中极限连续等内容。

授课大纲

第五章 导数和微分

 

导数与微分是微分学的核心概念,是研究函数与自变量关系的产物,有着及其广泛的应用。


第一讲  导数的定义;

第二讲  有限增量公式,左右导数,导函数

第三讲  导数的几何意义

第四讲  函数极值与费马定理

第五讲  习题课一

第六讲  导数的四则运算

第七讲  反函数的导数,复合函数的导数

第八讲  复合函数求导的例,对数求导发,基本求导公式

第九讲  参变量函数的导数

第十讲  习题课二

第十一讲  高阶导数,莱布尼茨公式

第十二讲  微分的概念,微分运算法则

第十三讲  高阶微分,微分在近似计算中的应用

第十四讲  习题课三

 

第六章 微分中值定理及其应用


微分中值定理为导数的应用提供了有力的工具,同时也展示了非常深刻的数学思想。


第一讲  罗尔定理

第二讲  拉格朗日定理及推论

第三讲  拉格朗日定理应用举例

第四讲  函数单调性判别,达布定理

第五讲  习题课一

第六讲  柯西中值定理

第七讲  不定式极限(一)

第八讲  不定式极限(二)

第九讲  不定式极限(三)

第十讲  习题课二

第十一讲  带有佩亚诺余项的泰勒公式

第十二讲  麦克劳林公式的例

第十三讲  带有拉格朗日余项的泰勒公式

第十四讲  泰勒公式在近似计算中的应用

第十五讲  习题课三

第十六讲  函数极值的第一和第二充分条件

第十七讲  函数极值的第三充分条件

第十八讲  函数的最大值和最小值

第十九讲  习题课四

第二十讲  函数的凸性,詹森不等式

二十一讲  凸函数的等价条件,例

二十二讲  函数凸性进一步的例,曲线的拐点

二十三讲  习题课五

二十四讲  函数图像的讨论

 

 

第七章  实数的完备性


实数具有完备性,本章涉及的实数理论的六个定理是数学分析理论的基石。


第一讲  区间套定理

第二讲  聚点定理

第三讲  有限覆盖定理

第四讲  习题课

第五讲  上下极限概念

第六讲  上下极限性质


参考资料

1.《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系  高等教育出版社

推荐理由:

国内影响最大的数学分析教材,内容组织合理,易学易教,是本课程主要的参考书。

2.《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社

推荐理由:

经典的数学分析百科全书 , 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的基地班学生是一本较好的参考书。

3.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社

推荐理由:

本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少难度较大的题目。适合要求进一步提高数学分析素养的同学。

4.《数学分析》 李成章 黄玉民 科学出版社

推荐理由:

总体内容与华东师大教材相仿。书中有大量的习题可作为补充练习题。

5. 《数学分析》 陈纪修等 高等教育出版社

推荐理由:

书中对三角级数阐述的较为详细 ,可供参考。

6. 《数学分析学习指导书》 毛羽辉 韩士安 吴畏 高等教育出版社

推荐理由:

题型丰富 , 可供较为优秀学生选读。