北京航空航天大学

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课程概述

本课程不代替你学习微积分,而是象导航仪(GPS)一样指引一个入口、一条路线,让你轻松入门,顺利前进。本课程不是强行灌输微积分知识,而是邀请你共同将微积分的主要内容重新发明一遍。本课程既可帮助没有学过微积分的学生入门,也可帮助正在学习或已经学过微积分而感到困难的学生解除迷惑,加深理解。

入口在这里: 求三次方程f(x)=x^3-3x+1=0的近似根。

假定你只会解一次方程不会解三次方程。从f(0)<0<f(1)知道有一个根x01之间, x^3很小,一刀砍了, 变成一次方程-3x+1=0求得近似根1/3

准确根x1/3之差u=x-1/3更接近0,下一步求出u的近似值可以更接近x=1/3+u的准确值。展开f(x)=f(1/3+u)=1/27-(8/3)u+u^2+u^3=0得到u的三次方程,砍掉高次项变成一次方程1/27-(8/3)u0求出u1/72, x1/3+1/72

将三次方程变成一次方程来解,第一回合就展示了微积分兵法的威力。

f(x)写成u=x-1/3的多项式f(1/3+u)=1/27-(8/3)u+...=1/27-(8/3)(x-1/3)+..., 称为f(x)1/3的泰勒展开,一次项系数-8/3称为f(x)1/3的导数f’(1/3),一次项称为微分。砍掉高次项得到一次函数y=1/27-(8/3)(x-1/3)3次曲线y=f(x)的切线方程。同理,f(x)=1-3x+x^3是它在0的泰勒展开,一次项系数f’(0)=-3也是导数,y=1-3x也是切线。以上解法就是用切线代替曲线y=f(x)去求与x轴的交点。

泰勒展开,导数,微分,切线方程都是微积分的主角。一进门受到他们的迎接,可谓开门大吉。他们将陪你走完全程,让你感受微积分的热情好客和精彩纷呈。

虽然只是启蒙,但已经介绍了微积分最重要的思想方法和内容,(见授课大纲)。大部分微积分课堂把泰勒展开和微分贬得很低,本课程却以它们为主要线索:泰勒展开的常数项就是极限,一次项就是微分,一次项系数就是导数。不是硬把他封为主要,而是让他建功立业:既解决重要问题,又容易为学生(尤其是基础较差的学生,例如专科生甚至中学生)理解和学会。

因为是启蒙,只能有所为有所不为。有为的是“师傅领进门”。不为的是“修行靠各人”,主要包括各种计算技巧的训练和熟练,尤其是不定积分的技巧(分部积分法、变量替换等)基本没有涉及。基本训练不是不重要,而是各种课堂和教材训练得很多,不需我来凑热闹。GPS领你上路之后就睡大觉了,让你“沿当前道路直行。”但你不能睡大觉,还得自己往前。学生也是这样,入门之后可以自己训练或者到别的课堂上去训练。更何况,实际应用时可以直接用计算机软件,就象做加减乘除直接按计算器。

本课程学习内容共13周,另有两周复习考试时间,共15周。考试之前的复习时间,学习者除了自己复习,还可在讨论区提出疑问,教师解答。


 


证书要求

课堂测试与作业占40%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

中学数学



授课大纲

第一章. 微分与导数

1周 导数

1.1 凌波微步解方程

1.2 切线        

1.3 切线斜率

 

2 多项式的导数

1.4 微商

1.5 变化率

1.6 中值定理

1.7 多项式的导数

 

3 利用微分求导数

1.8 分式的导数

1.9 微分

1.10 复合函数与反函数

 

4 导数计算与应用例

1.11 极限与导数

1.12 二项式定理

1.13 优化

 

第二章. 积分

 

5 面积与路程

2.1 面积

2.2 路程

2.3 原函数

 

6 积分计算与应用例

2.4 不定积分

2.5 拟柱体积公式

2.6 积分与级数

 

第三章. 对数与指数

 

7 自然对数

3.1 反比例函数的积分

3.2 对数的微分

3.3 重要极限e

3.4 1^∞型极限

 

8 指数与对数的泰勒级数

3.5 关于e的不等式

3.6 指数函数的泰勒级数

3.7 对数函数的泰勒级数

 

第四章 三角函数

 

9 三角函数的导数

4.1 刘徽割圆

4.2 证明重要极限

4.3 三角函数的导数

 

10 三角函数导数应用例

4.4 简谐振动

4.5 旋轮线

 

11 泰勒公式

4.6 泰勒级数

4.7 泰勒公式

4.8 泰勒公式应用例

 

第五章. 多元微分

 

12 全微分

5.1 全微分与偏导数

5.2 全微分与偏导数计算例

5.3 切平面与切线

 

13 多元函数的极值

5.4 极值条件

5.5 梯度方向与方向导数

5.6  条件极值


授课老师
李尚志

李尚志

教授

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