北京航空航天大学

线性代数启蒙

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课程概述

本课程既可帮助没有学过线性代数的学生入门,也可帮助正在学习或已经学过线性代数而感到困难的学生解除迷惑,加深理解。
    数学的重要主题是方程与函数, 其中最简单的是一次方程和一次函数。“线性”就是“一次”,“代数”就是加减乘除。顾名思义,线性代数的主要任务就是一次方程与一次函数,因此是最简单的数学。其中一元一次方程和一次函数在中学已经学过了。大学线性代数研究的是多元的一次方程组和一次函数组(即线性映射),是最简单的大学数学课程。中学平面解析几何用代数运算研究几何问题。线性代数则是n维空间的解析几何,用矩阵运算研究n维向量的相关问题。线性代数的运算看起来繁琐,其实可以归结为两种最简单的运算:矩阵的初等变换和矩阵乘法。繁琐的运算只不过是简单运算的反复应用。而且,繁琐运算都可以交给计算机去完成,人的任务只是将纷纭世界千差万别的复杂问题转化为成可以用这两种运算解决的形式,借助计算机算出结果,再回到现实世界中去。本课程不能将这种转化能力拷贝给你,但希望指引你沿正确的方向前进,培养和提高这种转化能力。

本课程的主要内容可以用如下两首诗来描述:

其一:星移斗转落银河,月映三潭映碧波.保短保长皆变换,能伸能屈是几何。

其二: 代数几何熔一炉,乾坤变幻坐标书。图形百态方程绘,变换有规矩阵筹。

前一首讲的是线性代数的主要研究对象,举的是线性变换的例子。前两句星移斗转和月映三潭分别是三维空间中旋转变换和关于平面的对称,后两句分别是正交变换和伸缩变换。本课程讲的是如何用矩阵乘法研究线性变换。

第二首讲的是线性代数的重要思想方法:代数和几何的相互对应和转化。乾坤万物由点组成,点的位置转化为坐标,图形转化为方程,变换转化为矩阵。

本课程不是向你灌输知识,而是引导你在解决简单易懂的问题的过程中自己将知识发明出来。   

  本课程学习内容共10周,另有两周复习考试时间,共12周。考试之前的复习时间,学习者除了自己复习,还可在讨论区提出疑问,教师解答。





 

证书要求

课堂测试与作业占40%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

中学数学

授课大纲

1. 线性方程组

0.1 线性代数全览

1.1 数列求和引出线性方程组

1.2 方程组的同解变形

1.3 解集的初步讨论

2 线性无关与线性相关         

2.1 不共面决定唯一解

2.2 数组向量的线性无关

2.3 n数组空间

3 行列式

3.1 计算机算行列式

3.2.几何性质决定代数算法

3.3 行列式的初等变换

4 线性方程组的解集

4.1 方程个数有真假

4.2 秩的唯一性

4.3 秩的算法

4.4 线性方程组解集构造

5 线性映射

5.1数列的通项公式

5.2 插值公式

5.3 平面旋转与对称

6 矩阵运算(1)

6.1 矩阵运算法则

6.2 运算律

7 矩阵运算(2)

7.1. 初等方阵

7.2 运算律应用例

7.3. 分块运算应用例

8 内积

8.1 最小二乘法

8.2 几何内积的代数推广

8.3 正交化方法

9 二次型

9.1 二次型配方法

9.2 矩阵相合对角化

9.3 正定二次型

10 矩阵相似

10.1椭圆变圆引出特征向量

10.2相似化简矩阵

10.3几何空间的对称与旋转

 

 

参考资料

李尚志,线性代数,北京,高等教育出版社,2011。

授课老师
李尚志

李尚志

教授

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