工科数学分析(二)
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spContent=工科数学分析MOOC课程涵盖了经典数学分析课程内容,增加了许多现代数学的内容,培养学生应用数学的能力。本套视频课程充分利用多媒体技术,将抽象数学问题用多媒体演示,为学生营造1对1的视频授课环境。本课程具有基础性、前沿性和研究探索性,是一门高能量密度课程,同学们会发现数学世界很大很大。
—— 课程团队
课程概述

工科数学分析(二)课程包括函数项级数、傅里叶级数以及傅里叶变换、多元函数极限与连续、多元函数微分学、向量函数微分学、常微分方程、重积分、曲线积分、曲面积分、含参积分。课程体系严谨科学,由浅入深,符合学生认知规律。本套视频课设有供学生选学的提高课,满足不同程度学生的要求。提高课内容包括离散傅立叶变换与快速傅里叶变换以及变换能力分析和应用实例、信号多分辨分析初步以及应用、多元函数极值问题与数学建模、常微分方程与数学建模、向量函数微分学综合应用实例等一系列问题,为学生初步打开现代数学的窗口,开阔学生视野。同时每一章都设置了系列探索类问题,包括理论问题、应用问题,培养学生应用数学解决实际问题的能力。本套视频课程充分利用多媒体信息技术,将复杂数学问题直观化,图文并茂,复杂的数学公式变得色彩斑斓和生动。本套视频课为学生营造一对一的视频授课环境,使得学生对数学问题的理解更通透。本套视频课具备基础性、前沿性和研究探索性的特点。通过本套视频课的学习,全面提高学生的科学素质以及应用数学解决实际问题的能力,为后续课程的学习奠定了扎实的基础。


授课目标

通过本课程的系统学习,掌握数学分析中的基本概念、理论和方法,培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象力和计算能力,提高学生对相关数学理论的阅读与应用能力,为后续课程的学习和研究打下坚实的基础。

课程大纲


第十章 函数项级数

10.1 函数列与函数项级数的基本概念

 10.1.1 函数列与函数项级数的基本概念(上)

 10.1.2 函数项级数的基本概念(下)

10.2 函数项级数研究的基本问题

10.2.1 函数项级数研究的基本问题(上)

10.2.2 函数项级数研究的基本问题(下)

10.3 函数序列一致收敛性的典型例题

10.3.1 函数序列一致收敛性的典型例题(上)

10.3.2 函数序列一致收敛性的典型例题(下)

10.4 函数项级数的一致收敛性

10.5 函数项级数一致收敛的典型例题

  10.5.1 函数项级数一致收敛的典型例题(上)

10.5.2 函数项级数一致收敛的典型例题(下)

10.6 狄利克雷和阿贝尔判别方法

 10.6.1 狄利克雷和阿贝尔判别方法(上)

10.6.2 狄利克雷和阿贝尔判别方法(下)

10.7 函数项级数和函数的连续性

 10.7.1 函数项级数和函数的连续性(上)

10.7.2 函数项级数和函数的连续性(下)

10.8 函数项级数和函数的可积性

10.9 函数项级数和函数的可微性

  10.9.1 函数项级数和函数的可微性(上)

10.9.2 函数项级数和函数的可微性(下)

10.10 幂级数的收敛区间

10.11 幂级数和函数的性质

  10.11.1 幂级数和函数的性质(上)

  10.11.2 幂级数和函数的性质(下)

10.12 泰勒级数

  10.12.1 泰勒级数(上)

  10.12.2 泰勒级数(下)

10.13 泰勒级数的应用

10.14 幂级数的综合例题(1)

  10.14.1 幂级数的综合例题(1)(上)

10.14.2 幂级数的综合例题(1)(下)

10.15 幂级数的综合例题(2)

10.16 探索类问题

第十一章 傅里叶级数与变换

11.1 傅里叶级数

11.2 傅里叶级数逐点问题讨论

11.3 傅里叶级数性质

11.4 傅里叶级数计算(1)

11.5 傅里叶级数(2)

11.6 傅里叶级数(3)

11.7 傅里叶级数(4)

11.8 傅里叶级数平方逼近问题(1)

11.9 傅里叶级数平方逼近问题(2)

11.10 傅里叶积分与傅里叶变换

11.11 傅里叶变换计算

11.12 傅里叶变换性质

11.13 离散傅里叶变换

11.14 快速傅里叶变换

11.15 快速傅里叶变换应用

11.16 小波变换初步:信号多分辨分析

     11.16.1 小波变换初步:信号多分辨分析(上)

     11.16.1 小波变换初步:信号多分辨分析(下)

11.17 小波变换应用实例

11.18 探索类问题

第十二章 多元函数的极限与连续

12.1 N维线性空间与欧几里得空间

12.2 N维线性空间点集的基本概念和性质(1)

12.3 N维向量空间点集的基本概念和性质(2)

12.4 N维线性空间点集例题

12.5 欧几里得空间点列的极限

12.6 欧几里得空间点列的极限与基本定理(1)

12.7 欧几里得空间点列的极限与基本定理(2)

12.8 多元函数的定义

12.9 多元函数极限的定义

12.10 多元函数极限基本理论

12.11 多元函数极限典型例题(1)

12.12 多元函数极限典型例题(2)

12.13 累次极限(1)

12.14 累次极限(2)

12.15 多元函数的连续

12.16 多元函数连续的性质

12.17 多元函数一致连续(1)

12.18 多元函数一致连续(2)

12.19 有界闭集上多元连续函数的性质

12.20 综合例题(1)

12.21 综合例题(2)

12.22 综合例题(3)

12.23 探索类问题

第十三章 多元函数微分学

13.1 多元函数的微分学

13.2 函数可微条件(1)

13.3 函数可微条件(2)

13.4多元函数的求导定理

13.5多元函数的求导例题(1)

13.6多元函数的求导例题(2)

13.7方向导数

13.8 梯度与应用

13.9 高阶偏导数

13.10 高阶偏导数计算(1)

13.11 高阶偏导数计算(2)

13.12 高阶微分计算

13.13 多元函数的中值定理

13.14 多变量函数的Taylor公式

13.15 多元函数的Taylor公式

13.16  Taylor公式应用

13.17 矩阵的几个基本概念和结论

13.18 多元函数的无约束极值问题

13.19 多元函数的无约束极值问题

13.20 多变量函数的无约束极值问题

13.21 最小二乘问题

13.22 函数行列式

13.23 隐函数存在定理

13.24 隐函数存在定理应用

13.25 隐函数存在定理应用

13.26 隐函数组存在定理与应用

13.27 隐函数组存在定理与应用

13.28 反函数组存在定理与应用

13.29 隐函数的应用:方程换元

13.30 隐函数的应用:变换方程

13.31 隐函数的几何应用:曲线的切线与法平面

13.32 隐函数的几何应用(2):曲面的切平面与法线

13.33 隐含数的几何应用(3):综合例题

13.34 条件极值问题(1)

13.35 条件极值问题(2)

13.36 条件极值问题(3)

13.37 提高课

13.37.1 提高课:数学建模-离散数据拟合

13.37.2 提高课:数值优化初步(1)

13.37.3 提高课:数值优化初步(2)

13.38 探索类问题

第十四章 向量函数的微分学

14.1 向量函数的微分

14.2 向量与矩阵范数

14.3 向量函数的极限

     14.3.1 向量函数的极限(1)

     14.3.2 向量函数的极限(2)

14.4向量函数的连续与一致连续

14.4.1向量函数的连续与一致连续(1)

14.4.2向量函数的连续与一致连续(2)

14.5 向量函数的导数与微分

14.6 向量函数导数的计算

14.7 向量函数导数计算例题

14.8 向量函数中值定理

14.9 向量函数的应用:证明开普勒定律

14.10 探索类问题

第十五章 常微分方程

15.1 常微分方程初步

15.2 微分方程和数学建模

15.3 一阶微分方程的分离变量法

15.4 一阶线性微分方程的求解

15.5 一阶线性微分方程求解的综合例题

15.6 可降阶的高阶微分方程

15.7 二阶线性微分方程的结构

15.7.1 二阶线性微分方程的结构(1)

15.7.2 二阶线性微分方程的结构(2)

15.8二阶常系数线性微分方程(1)

15.9二阶线性微分方程(2)

15.10 二阶线性微分方程的幂级数解法与欧拉方程

15.11 综合例题

      15.11.1 综合例题(1)

15.11.2 综合例题(2)

15.12 线性微分方程组的求解(1)

15.13 线性微分方程组的求解(2)

15.14 提高课:一阶常微分方程基本理论初步

15.14.1 提高课:一阶常微分方程基本理论初步(1)

15.14.2 提高课:一阶常微分方程基本理论初步(2)

15.15 提高课:常微分方程数值求解初步

15.15.1 提高课:常微分方程数值求解初步(1)

15.15.2 提高课:常微分方程数值求解初步(2)

15.16 提高课:数学建模:人口模型问题研究

15.17 提高课:数学建模:卫星发射的三级火箭研究

15.18 提高课:数学建模:微分方程组应用

15.19 探索类问题

第十六章 重积分

16.1平面图形面积

16.1.1 平面图形面积(上)

16.1.2 平面图形面积(下)

16.2二重积分的定义与性质

16.2.1二重积分的定义与性质(上)

16.2.2二重积分的定义与性质(下)

16.3直角坐标系下二重积分计算公式

16.3.1直角坐标系下二重积分计算公式(上)

16.3.2直角坐标系下二重积分计算公式(下)

16.4直角坐标系下的二重积分的计算例题(1)

16.5直角坐标系下的二重积分的计算例题(2)

16.6 二重积分的换元公式

16.7 二重积分换元公式应用

16.8 极坐标系下二重积分的计算公式

16.9 极坐标下二重积分计算例题(1)

16.10 极坐标下二重积分计算例题(2)

16.11二重积分计算综合例题(1)

16.12二重积分计算综合例题(2)

16.13二重积分计算综合例题(3)

16.14三重积分的定义与基本性质

16.15直角坐标系下三重积分的计算公式

16.15.1直角坐标系下三重积分的计算公式(上)

16.15.2直角坐标系下三重积分的计算公式(中)

16.15.3直角坐标系下三重积分的计算公式(下)

16.16直角坐标系下三重积分计算例题(1)

16.17直角坐标系下三重积分计算例题(2)

16.18直角坐标系下三重积分计算例题(3)

16.19 三重积分换元公式

16.20柱坐标系下三重积分计算

16.21球坐标系下三重积分计算

16.21.1球坐标系下三重积分计算(上)

16.21.2球坐标系下三重积分计算(下)

16.22 三重积分计算综合例题(1)

16.23 三重积分计算综合例题(2)

16.24重积分的物理应用

16.24.1重积分的物理应用(上)

16.24.2重积分的物理应用(下)

16.25 提高课:广义重积分(1)

16.26 提高课:广义重积分(2)

16.27 提高课:广义重积分(3)

16.28 探索类问题

第十七章 曲线积分和格林公式

17.1第一型曲线积分的定义

17.2第一型曲线积分计算公式

17.3第一型曲线积分基本性质

17.4第一型曲线积分计算例题(1)

17.5第一型曲线积分计算例题(2)

17.6第二型曲线积分定义

17.7第二型曲线积分计算公式

17.8第二型曲线积分计算例题(1)

17.9第二型曲线积分计算例题(2)

17.10 Green公式

17.10.1 Green公式(上)

17.10.2 Green公式(下)

17.11 Green公式例题(1)

17.11.1 Green公式例题(1)(上)

17.11.2 Green公式例题(1)(下)

17.12 Green公式例题(2)

17.13 Green第二公式

17.14 Green公式(2)综合例题

17.15积分与路径无关

17.16积分与路径无关综合例题(上)

17.17积分与路径无关综合例题(下)

17.18 探索类问题

第十八章 曲面积分

18.1曲面积分与场论初步

18.2空间曲面的面积

18.3 曲面的面积计算例题

18.4第一型曲面积分定义

18.5第一型曲面积分的计算公式

18.6第一型曲面积分例题(1)

18.7第一型曲面积分例题(2)

18.7.1第一型曲面积分例题(2)(上)

18.7.2第一型曲面积分例题(2)(下)

18.8第一型曲面积分例题(3)

18.9双侧曲面

18.10流量问题

18.11第二型曲面积分的概念

18.12第二型曲面积分的计算

18.13第二曲面积分例题(1)

18.13.1第二曲面积分例题(1)(上)

18.13.2第二曲面积分例题(1)(下)

18.14 第二型曲面积分计算例题(2)

18.15两类曲面积分的关系

18.15.1两类曲面积分的关系(上)

18.15.2两类曲面积分的关系(下)

18.16两类曲面积分互算公式应用

18.17高斯公式

18.18 高斯公式的应用(1)

18.19 高斯公式的应用(2)

18.20空间格林第二公式(1)

18.21空间格林第二公式(2)

18.22 Stokes公式

18.23 Stokes公式例题(1)

18.24 Stokes公式例题(2)

18.25积分与路径无关

18.26场论初步(1)

18.27场论初步(2)

18.28场论初步(3)

18.29积分的统一定义

18.29.1积分的统一定义(上)

18.29.2积分的统一定义(下)

18.30 探索类问题

第十九章 含参变量积分

19.1含参变量常义积分的连续性

19.2含参变量常义积分的可积性

19.3含参变量常义积分的可微性

19.4含参变量常义积分综合例题(1)

19.5含参变量常义积分综合例题

19.6含参变量常义积分思考

19.7含参变量广义积分的定义

19.8含参变量广义积分一致收敛判定定理(1)

19.9含参变量广义积分一致收敛判定定理(2)

19.10含参变量广义积分一致收敛的综合例题(1)

19.11含参变量广义积分一致收敛的综合例题(2)

19.12含参变量广义积分一致收敛的狄利克雷和阿贝尔定理

19.13含参变量广义积分一致收敛的综合例题

19.14含参变量广义积分的连续性

19.15含参变量广义积分连续性的典型例题(1)

19.16含参变量广义积分连续性的典型例题(2)

19.17含参变量广义积分的可积性

19.18含参变量广义积分的可积性例题

19.19含参变量广义积分可微性

19.20含参变量广义积分可微性例题

19.21含参变量广义积分思考

19.22含参变量瑕积分

19.23含参变量瑕积分综合例题(1)

19.24含参变量瑕积分综合例题(2)

19.25欧拉积分(1)

19.26欧拉积分(2)

19.27欧拉积分(3)

19.28欧拉积分(4)

19.29 探索类问题


预备知识

高中数学,高等数学(一)、 工科数学分析(一)

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成单元测验题、参加期末考试。

  课程学习成绩由二部分构成:

  (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题、填空题,所有单元测验分数占课程成绩的60%

   (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占40%

   完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。


参考资料

 《工科数学分析教程》 (上、下册),杨小远主编,科学出版社。