工科数学分析(一)
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spContent=工科数学分析MOOC课程涵盖了经典数学分析课程内容,增加了许多现代数学的内容,培养学生应用数学的能力。本套视频课程充分利用多媒体技术,将抽象数学问题用多媒体演示,为学生营造1对1的视频授课环境。本课程具有基础性、前沿性和研究探索性,是一门高能量密度课程,同学们会发现数学世界很大很大。
—— 课程团队
课程概述

工科数学课程(一)教学内容包括:数列极限的基本理论、一元函数极限与连续、 一元函数微分学、不定积分与定积分、广义积分、数项级数。本套视频课设有供学生选学的提高课,满足不同程度学生的要求。提高课内容包括自然界混沌现象与极限、泰勒公式与科学计算、积分算子在工程领域中的应用等一系列问题,为学生初步打开现代数学的窗口,开阔学生视野。同时每一章都设置了系列探索类问题,包括理论问题、应用问题,培养学生应用数学解决实际问题的能力。本套视频课程充分利用多媒体信息技术,将复杂数学问题直观化,图文并茂,复杂的数学公式变得色彩斑斓和生动。本套视频课为学生营造一对一的视频授课环境,使得学生对数学问题的理解更通透。本套视频课具备基础性、前沿性和研究探索性的特点。通过本套视频课的学习,全面提高学生的科学素质以及应用数学解决实际问题的能力,为后续课程的学习奠定了扎实的基础。

授课目标

通过本课程的系统学习,掌握数学分析中的基本概念、理论和方法,培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象力和计算能力,提高学生对相关数学理论的阅读与应用能力,为后续课程的学习和研究打下坚实的基础。

课程大纲



第一章     数列极限

1.1  数列极限的定义与基本性质

1.1.1数列极限的定义(上)

1.1.2数列极限的定义(下)

1.1.3数列极限定义的应用(1)

1.1.4数列极限定义的应用(2)(上)

1.1.5数列极限定义的应用(2)(下)

1.1.6收敛数列的性质(1)

1.1.7收敛数列的性质(2)

1.1.8 数列极限的四则运算法则

1.1.9 数列极限夹逼定理与应用

1.1.10 趋向无穷大的数列

1.1.11 综合例题(1)

1.1.12 综合例题(2)

1.2 单调有界和闭区间套定理

1.2.1数列单调有界定理

1.2.2两个典型单调数列

1.2.3单调数列综合例题(1)

1.2.4单调数列综合例题(2)

1.2.5 闭区间套定理(上)

1.2.6 闭区间套定理(下)

1.3 柯西(Cauchy)定理

1.3.1 列紧性定理

1.3.2 柯西定理

1.3.3 柯西定理的应用

1.4 确界定理与有限覆盖定理

1.4.1 确界定理

1.4.2 确界定理的应用

1.4.3 有限覆盖定理

1.5 实数连续与完备性讨论

1.5.1 实数连续与完备性讨论(1)(上)

1.5.2 实数连续与完备性讨论(1)(下)

1.5.3 实数连续与完备性讨论(2)

1.6 数列上下极限与应用

1.6.1 数列上下极限的定义与基本性质

1.6.2 斯笃茨定理

1.6.3 斯笃茨定理的应用

1.7 总习题课

1.7.1 总习题课(1)

1.7.2 总习题课(2)

1.7.3 总习题课(3)

1.8 提高课:数学建模:数列的应用

1.9 探索类题目

 

第二章 函数极限与连续

2.1 集合

2.1.1 集合映射基本术语

2.1.2 集合势的定义与基本性质(1)

2.1.3 集合势的定义与基本性质(2)

2.2 初等函数回顾

2.2.1 初等函数回顾(1)

2.2.2 初等函数回顾(2)

2.3 函数极限的定义与基本理论

2.3.1 函数极限的定义(上)

2.3.2 函数极限的定义(下)

2.3.3 函数极限的基本性质

2.3.4 函数极限四则运算与夹逼定理

2.3.5 复合函数极限

2.3.6 典型例题(1)

2.3.7 典型例题(2)

2.3.8 海涅定理(上)

2.3.9 海涅定理(下)

2.3.10 函数极限的柯西定理

2.4 连续函数

2.4.1 连续函数与间断点分类

2.4.2 函数间断点分析

2.4.3 连续函数应用

2.5 函数极限其它形式与结论

2.5.1 函数极限的其它形式与结论(1)

2.5.2 函数极限的其它形式与结论(2)(上)

2.5.3 函数极限的其它形式与结论(2)(下)

2.5.4 典型例题(1)

2.5.5 典型例题(2)

2.6 一致连续函数

2.6.1 函数一致连续定义(上)

2.6.2 函数一致连续定义(下)

2.6.3 函数一致连续典型定理

2.7 无穷小与无穷大阶的比较

2.7.1 无穷小阶的比较

2.7.2 无穷小的运算性质

2.7.3 无穷大阶的比较

2.8 连续函数的性质

2.8.1 闭区间上连续函数性质(1)

2.8.2 闭区间上连续函数性质(2)

2.8.3 综合例题(1)

2.8.4 综合例题(2)

2.9 提高课

2.9.1 有限覆盖定理的进一步认识

2.9.2 连续函数的应用(上)

2.9.3 连续函数的应用(下)

2.10 总习题课

2.10.1 总习题课(1)

2.10.2 总习题课(2)

2.10.3 总习题课(3)

2.10.4 总习题课(4)

2.10.5 总习题课(5)

2.10.6 总习题课(6)

2.10.7 总习题课(7)

2.11 探索类问题

第三章 函数导数与应用

3.1 导数的计算

3.1.1 导数的定义

3.1.2 导数四则运算法则

3.1.3 导数四则运算应用举例

3.1.4 复合函数求导定理

3.1.5 复合函数求导定理应用(1)

3.1.6 复合函数求导定理应用(2)

3.1.7 反函数求导法则证明与应用

3.2 高阶导数

3.2.1 高阶导数的定义与例题

3.2.2 莱布尼茨求导公式的证明

3.2.3 高阶导数的计算

3.3 参数方程和隐函数求导

3.4 中值定理

3.4.1 罗尔定理的证明

3.4.2 罗尔定理应用

3.4.3 拉格朗日中值定理

3.4.4 拉格朗日中值定理的应用

3.4.5 柯西中值定理

3.4.6 柯西中值定理应用

3.5 函数的单调性

3.5.1 函数的单调性

3.5.2 函数单调区间分析应用例题

3.6 极值问题

3.6.1 极值问题判定定理

3.6.2 极值问题求解

3.6.3 最大值与最小值问题

3.7 凹凸函数

3.7.1 函数凹凸定义及詹森定理

3.7.2 凹凸函数判定定理(1)

3.7.3 凹凸函数判定定理(2)

3.7.4 凹凸函数应用举例

3.8 洛必达法则

3.8.1 洛必达法则

3.8.2 洛必达法则的应用

3.9 函数作图

3.10 总习题课

    3.10.1 总习题课(1)

3.10.2 总习题课(2)

3.10.3 总习题课(3)

3.10.4 总习题课(4)

3.10.5 总习题课(5)

3.11 提高课

3.11.1 提高课:数学建模彩虹现象

3.11.2 提高课:数学建模罐子设计

3.11.3 提高课:方程求根

3.12 探索类问题

第四章 泰勒公式

4.1 微分的定义与计算

4.1.1 微分的定义

4.1.2 微分的计算

4.2 泰勒公式(皮亚诺余项)

4.2.1 泰勒公式(皮亚诺余项)的证明

4.2.2 常用函数泰勒(皮亚诺余项)展开

4.2.3 函数的泰勒(皮亚诺余项)展开

4.3 泰勒公式(拉格朗日余项)

4.3.1 泰勒公式(拉格朗日余项)证明

4.3.2 泰勒公式(拉格朗日余项)应用

4.3.3 泰勒公式典型例题

4.4 提高课

4.4.1 提高课:泰勒公式综合应用实例:导数的数值计算

4.4.2 提高课:拉格朗日插值逼近(上)

4.4.3 提高课:拉格朗日插值逼近(下)

4.5 探索类问题

第五章 不定积分

5.1 不定积分的求解策略

5.1.1 不定积分的定义与基本性质

5.1.2 第一类换元公式与应用(1)(上)

5.1.3 第一类换元公式与应用(1)(下)

5.1.4 第一类换元公式与应用(2)

5.1.5 分部积分公式与应用

5.1.6 第二类换元公式与应用(1)

5.1.7 第二类换元公式与应用(2)

5.2 几类特殊函数的不定积分

5.2.1 有理函数的不定积分(1)

5.2.2 有理函数的不定积分(2)

5.2.3 三角函数有理式的不定积分

5.3 探索类问题

第六章 定积分

6.1 定积分的定义与基本性质

6.1.1 定积分的定义(上)

6.1.2 定积分的定义(下)

6.1.3 定积分的基本性质

6.2 函数可积性讨论

    6.2.1 函数可积性讨论(1)(上)

    6.2.2 函数可积性讨论(1)(下)

    6.2.3 函数可积性讨论(2)(上)

    6.2.4 函数可积性讨论(2)(下)

    6.2.5 函数可积性讨论(3)(上)

    6.2.6 函数可积性讨论(3)(下)

6.2.7 典型例题

6.3 微积分基本定理

6.3.1 牛顿莱布尼茨公式

6.3.2 微积分基本定理(1)

6.3.3 微积分基本定理(2)

6.3.4 微积分基本定理典型例题

6.4 定积分的计算

6.4.1 定积分的分部积分公式(1)

6.4.2 定积分的分部积分公式(2)

6.4.3 定积分的换元(1)(上)

6.4.4 定积分的换元(1)(下)

6.4.5 定积分的换元(2)

6.5 定积分中值定理

6.5.1 定积分第一中值定理

6.5.2 定积分第二中值定理

6.5.3 定积分第三中值定理

6.6 勒贝格定理

6.6.1 勒贝格定理(上)

6.6.2 勒贝格定理(下)

6.7 定积分综合运用:函数的磨光

6.8 提高课

6.8.1 提高课:定积分的数值计算(1)

6.8.2 提高课:定积分的数值计算(2)

6.9 总习题课

6.9.1总习题课(1)

6.9.2总习题课(2)

6.9.3总习题课(3)

6.9.4总习题课(4)

6.9.5总习题课(5)

6.10 探索类问题

第七章 定积分的应用

7.1 定积分解决实际问题的一般方法

7.2 直角坐标系下图形面积的计算

7.3 参数方程表示的曲线围成平面图形面积

7.4 极坐标系下平面图形面积的计算

7.5 旋转曲面的面积

    7.5.1旋转曲面的面积(上)

    7.5.2旋转曲面的面积(下)

7.6 旋转体的体积计算

7.7 曲线弧长计算

7.8 物理应用(1):变力做功

7.9 物理应用(2):引力问题

7.10 物理应用(3):力矩和质心

7.11 探索类问题

第八章 无穷积分

8.1 无穷积分的定义与计算

8.1.1 无穷积分的定义与计算(上)

8.1.2 无穷积分的定义与计算(下)

8.2 无穷区间上非负函数的积分

    8.2.1 无穷区间上非负函数的积分(上)

8.2.2 无穷区间上非负函数的积分(下)

8.3 无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理

    8.3.1 无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理(上)

8.3.2 无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理(下)

8.4 瑕积分的定义与收敛

8.4.1 瑕积分的定义与收敛(上)

8.4.2 瑕积分的定义与收敛(下)

8.5 综合例题(1)

8.5.1 综合例题(1)(上)

8.5.2 综合例题(1)(下)

8.6 综合例题(2)

8.6.1 综合例题(2)(上)

8.6.2 综合例题(2)(下)

8.7 探索类问题

第九章 数项级数

9.1 数项级数的收敛性

9.1.1 数项级数的收敛性(上)

9.1.2 数项级数的收敛性(下)

9.2 正项级数的比较判别法

    9.2.1 正项级数的比较判别法(上)

9.2.2 正项级数的比较判别法(下)

9.3 正项级数的柯西积分判别法

    9.3.1 正项级数的柯西积分判别法(上)

9.3.2 正项级数的柯西积分判别法(下)

9.4 正项级数的柯西判别法

9.5 正项级数的达朗贝尔判别法

9.6 正项级数拉贝判别法

    9.6.1正项级数拉贝判别法(上)

9.6.2正项级数拉贝判别法(下)

9.7 一般级数的收敛问题

9.7.1 一般级数的收敛问题(上)

9.7.2 一般级数的收敛问题(下)

9.8 绝对收敛与条件收敛

    9.8.1 绝对收敛与条件收敛(上)

9.8.2 绝对收敛与条件收敛(下)

9.9 绝对收敛级数的性质

9.10 提高课:级数的乘法

9.11 提高课:无穷乘积

    9.11.1 提高课:无穷乘积(上)

9.11.2 提高课:无穷乘积(下)

9.12 探索类问题

 



预备知识

高中数学

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成单元测验题、参加期末考试。

  课程学习成绩由二部分构成:

  (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题、填空题,所有单元测验分数占课程成绩的60%

   (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占40%

   完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。


参考资料

 《工科数学分析教程》 (上、下册),杨小远主编,科学出版社。