工科数学分析(一)
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spContent=工科数学分析MOOC课程涵盖了经典数学分析课程内容,增加了许多现代数学的内容,培养学生应用数学的能力。本套视频课程充分利用多媒体技术,将抽象数学问题用多媒体演示,为学生营造1对1的视频授课环境。本课程具有基础性、前沿性和研究探索性,是一门高能量密度课程,同学们会发现数学世界很大很大。
—— 课程团队
课程概述

工科数学课程(一)教学内容包括:数列极限的基本理论、一元函数极限与连续、 一元函数微分学、不定积分与定积分、广义积分、数项级数。本套视频课设有供学生选学的提高课,满足不同程度学生的要求。提高课内容包括自然界混沌现象与极限、泰勒公式与科学计算、积分算子在工程领域中的应用等一系列问题,为学生初步打开现代数学的窗口,开阔学生视野。同时每一章都设置了系列探索类问题,包括理论问题、应用问题,培养学生应用数学解决实际问题的能力。本套视频课程充分利用多媒体信息技术,将复杂数学问题直观化,图文并茂,复杂的数学公式变得色彩斑斓和生动。本套视频课为学生营造一对一的视频授课环境,使得学生对数学问题的理解更通透。本套视频课具备基础性、前沿性和研究探索性的特点。通过本套视频课的学习,全面提高学生的科学素质以及应用数学解决实际问题的能力,为后续课程的学习奠定了扎实的基础。

授课目标

通过本课程的系统学习,掌握数学分析中的基本概念、理论和方法,培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象力和计算能力,提高学生对相关数学理论的阅读与应用能力,为后续课程的学习和研究打下坚实的基础。

课程大纲

第一章 数列极限

1.1.1-数列极限的定义(上)

1.1.1-数列极限的定义(下)

1.1.2-数列极限定义的应用(1)

1.1.3-数列极限定义的应用(2)(上)

1.1.3-数列极限定义的应用(2)(下)

1.1.4-收敛数列的性质(1)

1.1.5-收敛数列的性质(2)

1.1.6-数列极限的四则运算法则

1.1.7-数列极限夹逼定理与应用

1.1.8-趋向无穷大的数列

1.1.9-综合例题(1)

1.1.10-综合例题(2)

1.2.1-数列单调有界定理

1.2.2-两个典型单调数列

1.2.3-单调数列综合例题(1)

1.2.4-单调数列综合例题(2)

1.2.5-闭区间套定理(上)

1.2.5-闭区间套定理(下)

1.3.1-列紧性定理

1.3.2-柯西定理

1.3.3-柯西定理的应用

1.4.1-确界定理

1.4.2-确界定理的应用

1.4.3-有限覆盖定理

1.5.1-实数连续与完备性讨论(1)(上)

1.5.1-实数连续与完备性讨论(1)(下)

1.5.2-实数连续与完备性讨论(2)

1.6.1-数列上下极限的定义与基本性质

1.6.2-斯笃茨定理

1.6.3-斯笃茨定理的应用

1.7.1  总习题课(1)

1.7.2 总习题课(2)

1.7.3 总习题课(3)

1.8 提高课数学建模:数列的应用

1.9 探索类问题

第一章 数列极限--单元测验

致谢

致谢

第二章 函数极限与连续

2.1.2-集合势的定义与基本性质(1)

2.1.3-集合势的定义与基本性质(2)

2.2.1-初等函数回顾(1)

2.2.2-初等函数回顾(2)

2.3.1-函数极限的定义(上)

2.3.1-函数极限的定义(下)

2.3.2-函数极限的基本性质

2.3.3-函数极限四则运算与夹逼定理

2.3.4-复合函数极限

2.3.5-典型例题(1)

2.3.6-典型例题(2)

2.3.7-海涅定理(上)

2.3.7-海涅定理(下)

2.3.8-函数极限的柯西定理

2.4.1-连续函数与间断点分类

2.4.2-函数间断点分析

2.4.3-连续函数应用

2.5.1-函数极限其它形式与结论(1)

2.5.2-函数极限其他形式与结论(2)(上)

2.5.2-函数极限其他形式与结论(2)(下)

2.5.3-典型例题(1)

2.5.4-典型例题(2)

2.6.1-函数一致连续定义(上)

2.6.1-函数一致连续定义(下)

2.6.2-函数一致连续典型例题

2.7.1-无穷小阶的比较

2.7.2-无穷小的运算性质

2.7.3-无穷大阶的比价

2.8.1-闭区间上连续函数的性质(1)

2.8.2-闭区间上连续函数的性质(2)

2.8.3-综合例题(1)

2.8.4-综合例题(2)

2.9.1-提高课:有限覆盖定理进一步认识

2.9.2-提高课:连续函数的应用(上)

2.9.2-提高课:连续函数的应用(下)

2.10.1 总习题课(1)

2.10.2 总习题课(2)

2.10.3 总习题课(3)

2.10.4 总习题课(4)

2.10.5 总习题课(5)

2.10.6 总习题课(6)

2.10.7 总习题课(7)

2.11 探索类问题

2.1.1-集合映射基本术语

第二章 函数极限与连续--单元测验

第三章 导数与微分

3.1.1-导数的定义

3.1.2-导数四则运算法则

3.1.3-导数四则运算应用举例

3.1.4-复合函数求导定理

3.1.5-复合函数求导定理应用(1)

3.1.6-复合函数求导定理应用(2)

3.1.7-反函数求导法则证明与应用

3.2.1-高阶导数的定义与例题

3.2.2-莱布尼茨求导公式的证明

3.2.3-高阶导数的计算

3.3-参数方程和隐函数求导

3.4.1-罗尔定理的证明

3.4.2-罗尔定理应用

3.4.3-拉格朗日中值定理

3.4.4-拉格朗日中值定理的应用

3.4.5-柯西中值定理

3.5.1-函数的单调性

3.5.2-函数单调区间分析应用例题

3.6.1-极值问题判定定理

3.6.2-极值问题求解

3.6.3-最大值与最小值问题

3.7.1-函数凹凸定义及詹森定理

3.7.2-凹凸函数判定定理(1)

3.7.3-凹凸函数判定定理(2)

3.7.4-凹凸函数应用举例

3.8.1-洛必达法则

3.8.2-洛必达法则的应用

3.9-函数作图

3.4.6 柯西中值定理的应用

3.10.1-提高课:数据建模-彩虹现象

3.10.2-提高课:数学建模-罐子设计

3.10.3-提高课:数学建模-方程求根

3.11.1-总习题课(1)

3.11.2-总习题课(2)

3.11.3-总习题课(3)

3.11.4-总习题课(4)

3.11.5-总习题课(5)

3.12-探索类问题

第三章 导数与微分--单元测验

第四章 泰勒公式

4.1.1-泰勒公式

4.1.2-微分的计算

4.2.1-泰勒公式(皮亚诺余项)的证明

4.2.2-常用函数泰勒(皮亚诺余项)展开

4.2.3-函数的泰勒(皮亚诺余项)展开

4.3.1-泰勒公式(拉格朗日余项)证明

4.3.2-泰勒公式(拉格朗日余项)应用

4.3.3-泰勒公式典型例题

4.4.1-提高课:泰勒公式综合应用实例:导数的数值计算

4.4.2-提高课:拉格朗日插值逼近(上)

4.4.2-提高课:拉格朗日插值逼近(下)

4.5-探索类问题

第四章 泰勒公式--单元测验

第五章 不定积分

第五章 不定积分--单元测验

5.1.1-不定积分的定义与基本性质

5.1.2-第一类换元公式与应用(1)(上)

5.1.2-第一类换元公式与应用(1)(下)

5.1.3-第一类换元公式应用(2)

5.1.4-分部积分公式与应用

5.1.5-第二类换元公式与应用(1)

5.1.6-第二类换元公式与应用(2)

5.2.1-有理函数的不定积分(1)

5.2.2-有理函数不定积分(2)

5.2.3-三角函数有理式的不定积分

5.3-探索类问题

第六章 定积分

第六章 定积分--单元测验

6.1.1-定积分的定义(上)

6.1.1-定积分的定义(下)

6.1.2-定积分的基本性质

6.2.1-函数可积性讨论(1)(上)

6.2.1-函数可积性讨论(1)(下)

6.2.2-函数可积性讨论(2)(上)

6.2.2-函数可积性讨论(2)(下)

6.2.3-函数可积性讨论(3)(上)

6.2.3-函数可积性讨论(3)(下)

6.3.1-牛顿莱布尼茨公式

6.3.2-微积分基本定理(1)

6.3.3-微积分基本定理(2)

6.3.4-微积分基本定理典型例题

6.4.1-定积分的分部积分公式(1)

6.4.2-定积分的分部积分公式(2)

6.4.3-定积分换元(1)(上)

6.4.3-定积分换元(1)(下)

6.4.4-定积分换元(2)

6.5.1-定积分第一中值定理

6.5.2-定积分第二中值定理

6.5.3-定积分第三中值定理

6.6-勒贝格定理(上)

6.6-勒贝格定理(下)

6.7-定积分综合运用:函数的磨光

6.2.4-典型例题

6.8-提高课:定积分的数值计算(1)

6.8-提高课:定积分的数值计算(2)

6.9-总习题课(1)

6.9-总习题课(2)

6.9-总习题课(3)

6.9-总习题课(4)

6.9-总习题课(5)

6.10-探索类问题

第七章 定积分应用

7.1-定积分解决实际问题的一般方法

7.2-直角坐标系下图形面积的计算

7.3-参数方程表示的曲线围成平面图形面积

7.4-极坐标系下平面图形面积的计算

7.5-旋转曲面的面积(上)

7.5-旋转曲面的面积(下)

7.6-旋转体的体积计算

7.7曲线弧长计算

7.8物理应用(1):变力做功

7.9-物理应用(2):引力问题

7.10-物理问题(3):力矩和质心

7.11-总结以及探索类问题

第七章 定积分应用--单元测验

第八章 广义积分

8.3-无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理(上)

8.3-无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理(下)

8.4-瑕积分的定义与收敛(上)

8.4-瑕积分的定义与收敛(下)

8.5-综合例题(1)(上)

8.5-综合例题(1)(下)

8.6-综合例题(2)(上)

8.6-综合例题(2)(下)

8.9-探索类问题

8.1-无穷积分的定义与计算(上)

8.1-无穷积分的定义与计算(下)

8.2-无穷区间上非负函数的积分(上)

8.2-无穷区间上非负函数的积分(下)

第八章 广义积分--单元测验

第九章 数项级数

9.1-数项级数的收敛性(上)

9.1-数项级数的收敛性(下)

9.2-正项级数的比较判别法(上)

9.2-正项级数的比较判别法(下)

9.3-正项级数的柯西积分判别法(上)

9.3-正项级数的柯西积分判别法(下)

9.4-正项级数的柯西判别法

9.5-正项级数的达朗贝尔判别法

9.6-正项级数拉贝判别法(上)

9.6-正项级数拉贝判别法(下)

9.7- 一般级数的收敛问题(上)

9.7-一般级数的收敛问题(下)

9.8-绝对收敛与条件收敛(上)

9.8-绝对收敛与条件收敛(下)

9.9-提高课-绝对收敛级数的性质

9.10-提高课-级数的乘法

9.11-提高课-无穷乘积(上)

9.11-提高课-无穷乘积(下)

9.10-探索类问题

第九章 数项级数--单元测验

预备知识

高中数学

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成单元测验题、参加期末考试。

  课程学习成绩由二部分构成:

  (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题、填空题,所有单元测验分数占课程成绩的60%

   (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占40%

   完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。


参考资料

 《工科数学分析教程》 (上、下册),杨小远主编,科学出版社。