北京理工大学

微积分(二)

图片
课程概述

微积分是研究变量的数学,是运动的数学,是微分学与积分学的总称。


微积分创立于17世纪,它是一系列数学思想历经漫长岁月演变的结果,特别是积分的思想早在古希腊已经萌芽。公元前3世纪,阿基米德在解决抛物线弓形的面积、球冠面积和旋转双曲面的体积问题中就隐含着近代积分学的思想。

与积分学相比,微分学的起源则要晚些。17世纪以前,真正意义上的微积分研究的例子是很罕见的。近代微积分的酝酿,主要是在17世纪上半叶。自然科学的综合突破所面临的数学困难,使微积分的基本问题空前地成为人们关注的焦点:确定非匀速物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;望远镜的设计使任意曲线的切线问题变得不可回避;确定炮弹的最大射程及寻求星轨的近日点与远日点等涉及到函数极值问题丞待解决。与此同时,行星沿轨道运行的路程,行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算又使对积分学的基本问题(面积、体积、曲线长、重心和引力计算)的兴趣被重新激发起来。17世纪许多著名数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,为微积分的创立提供了重要的工作准备。他们的一系列前驱性的工作,沿着不同的方向向着微积分的大门逼近,但这仍不足以标志微积分作为一门独立学科的诞生。


自觉地意识到一个伟大的发现并实际去完成它的是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)。他们总结并发展了前人的思想,提炼了微积分的基本概念和方法,各自独立地创立论微积分。牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人,就微积分的创立而言,牛顿主要是以运动学为背景,而莱布尼兹是出于几何问题的思考。尽管在背景、方法和形式上存在差异,各有特色,他们二人的功绩是相当的。经过他们的工作,微积分成为了一门独立的学科,不再是解决个别问题的特殊方法,而是能应用于许多类函数且有普适性的方法。他们的最大功绩是将两个貌似不相关的问题联系起来,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题),建立了两者之间的桥梁—牛顿-莱布尼兹公式。


微积分的创立,被誉为“人类精神的最高胜利”,是人类对自然界认识到一个大飞跃,是数学发展中的一个转折点,它使运动进入到数学,不再孤立、静止地看待一个个问题,而是采用极限的方法,普遍地解决问题。


微积分自诞生之日起就与实际应用紧密结合在一起,到今天依然如此。时至今日,它在天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、应用数学及社会科学中有越来越广泛的应用,其程度足以令那些当初创立这门学科的物理学家、数学家和天文学家震惊和欣慰。


微积分是各高等院校许多专业的一门重要基础课,它对培养、提高同学们的素质有着重要作用。它对工程技术的重压性就像望远镜之于天文学家,显微镜之于生物学家一样。而且,它对思维能力的培养可以使人终身受益。

微积分的内容很丰富,它呈现出概念复杂、理论性强、表达形式抽象的特点。学这门课时,需要正确领会一些重要的数学思想方法,培养抽象思维与逻辑推理能力,掌握基本运算方法,逐步养成自己综合运用所学的数学知识解决实际问题的意识和兴趣,培养建立实际问题的数学模型,运用数学方法解决实际问题的能力。

证书要求

完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>=85分)的可获得优秀证书。

预备知识

学习过微积分(一),即单变量微积分,就可以学习微积分(二).

授课大纲

向量代数与空间解析几何

1) 空间直角坐标系

2) 向量及其线性运算

3) 向量的乘积

4) 平面的方程

5) 空间直线的方程

6) 空间曲面与空间曲线

7) 二次曲面

多元函数的微分学

1) 多元函数的极限与连续

2) 偏导数

3) 全微分

4) 复合函数与隐函数的微分法

5) 方向导数与梯度

6) 微分学在几何上的应用

7) 多元函数的极值

重积分

1) 重积分的概念和性质

2) 二重积分的计算

3) 三重积分的计算

4) 重积分的应用

曲线积分与曲面积分

1) 第一类曲线积分

2) 第二类曲线积分

3) 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件

4) 第一类曲面积分

5) 第二类曲面积分

6) 高斯公式与散度

7) 斯托克斯公式与旋度


参考资料

张润琦,陈一宏. 微积分(下册), 机械工业出版社,北京,2008年.

毛京中. 高等数学教程(下册). 高等教育出版社,北京,2008年. 

马知恩,王绵森. 工科数学分析基础. 高等教育出版社,北京,1998年.

范周田,张汉林. 高等数学教程. 机械工业出版社,北京,2011年