数学分析 (二)
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spContent=《数学分析》是高校数学专业学生必修的一门专业基础课,是学好微分几何、微分方程、复变函数、实变函数、计算方法、概率论等后继课程的阶梯。《数学分析》课程重视数学理论的完整性和逻辑性。通过本课程的学习,不但可以培养学生抽象思维、逻辑推理的能力,而且能为数学其他课程的学习打下坚实的基础。
—— 课程团队
课程概述

《数学分析》是学习时间最长的一门数学专业基础课程。它适合数学与应用数学、统计学、应用统计学、信息与计算科学等数学专业学生学习,以及非数学专业中对数学有较高要求的学生和数学爱好者来学习。

《数学分析》课程包括实数理论、极限与连续、一元函数微积分、无穷级数、多元函数微积分等众多内容。本门课程学程为3个学期。为了便于学习,我们将《数学分析》分为3个小课程,分别是“数学分析(一)”、“数学分析(二)”和“数学分析(三)”。“数学分析(二)”的教学内容包括不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分、数项级数、函数项级数、幂级数和傅里叶级数共计8章内容,学习时间为12周。

“数学分析(二)”课程的教学目的是通过系统学习和相关的数学训练,使学生掌握一元函数积分学和级数等方面的系统知识和数学的基本思想方法,培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力,逐步提高数学修养和数学学习能力,为进一步学习后继课程打下坚实的基础。

安阳师范学院数学与统计学院历史悠久,师资力量雄厚。本课程依托我院省级精品课程,以华东师范大学数学系编写的《数学分析》第四版为教材,由“分析类课程”省级优秀教学团队精心打造而成。主讲教师用精炼的语言、生动的视频对课程中提炼的知识点进行详细讲解。和我们一起进行这次数学之旅,你一定会有所收获!


授课目标

《数学分析》是数学系最重要的基础课.它对后继课程与近代数学的学习与研究具有非常深远的影响和至关重要的作用。通过本课程的学习,使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、基本方法,培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力,为后继课打下坚实的基础。

课程大纲

第八章 不定积分

      1.不定积分的概念与基本积分公式

      2.换元积分法与分部积分法

      3.有理函数和可化为有理函数的不定积分

应重点掌握的内容原函数和不定积分的概念,基本积分公式和积分方法,能综合运用上述方法求函数的不定积分。

 

第九章 定积分

      1.定积分概念

      2.牛顿-莱布尼兹公式

      3.可积条件

      4.定积分的性质

      5.微积分学基本定理 定积分的计算

应重点掌握的内容深刻理解定积分概念,把握和运用定积分的几何意义;掌握牛顿—莱布尼茨公式的使用;掌握可积的必要条件,充要条件及可积函数类;握定积分的有关性质,熟练掌握和运用积分中值定理;掌握变限积分的定义与微积分学基本定理,熟练运用定积分的换元与分部积分法。

 

第十章 定积分的应用

      1.平面图形的面积

      2.由平行截面面积求体积

      3.平面曲线的弧长与曲率

      4.旋转曲面的面积

      5.定积分在物理中的某些应用

应重点掌握的内容能够运用定积分工具求解平面图形的面积及特殊立体的体积;掌握平面曲线弧长公式;会用微元法求旋转曲面的面积及其它相关问题;掌握用定积分来计算物理问题。

 

第十一章 反常积分

   1反常积分概念

       2.无穷积分的性质与收敛判别

 3.瑕积分的性质与收敛判别

应重点掌握的内容掌握两种反常积分的定义和性质;掌握反常积分的各种判别法;掌握反常积分的计算方法。

 

第十二章 数项级数

        1.级数的收敛性

        2.正项级数

        3.一般项级数

应重点掌握的内容:掌握级数收敛性的定义,能综合运用判别方法判别正项级数和一般项级数的敛散性。

 

第十三章 函数列与函数项级数

        1.一致收敛性

        2.一致收敛的函数列与函数项级数的性质

应重点掌握的内容掌握函数列和函数项级数的一致收敛定义与判别法;掌握函数项级数的分析性质。

 

第十四章 幂级数

        1.幂级数

        2.函数的幂级数展开

应重点掌握的内容掌握幂级数的性质、运算及其收敛区间的判别方法,会把函数展开为幂级数。

 

第十五章 傅里叶级数

        1.傅里叶级数

        2.以2l为周期的函数的展开式

        3.收敛定理的证明

应重点掌握的内容掌握傅里叶级数的概念;掌握周期函数的傅里叶级数展开。

 


预备知识

高中数学知识,数学分析(一)

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成随堂测试、完成单元测验题、完成单元作业、参与课程讨论、参加期末考试。

课程学习成绩由4部分构成:

(1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为客观题,在规定时间内可以提交3次,选取最高分。所有的单元测试分数占总成绩的30%。

(2)单元作业:第2-6章结束后会有单元作业,题型为主观题,占总成绩的5%作业成绩由互评产生,需要按时提交作业,同时参与并完成作业互评才能够获得全部作业分数:完成作业互评(即评阅并为其他同学的作业打分)即可获得作业分数的100%;参与但未完成全部互评,可获得作业分数的80%;未参与互评,只能获得作业分数的50%。每位学生的作业随机分配给5名同学,学生作业成绩为作业各计分项去掉最小和最大值后的平均值之和。

(3)课程讨论:网上讨论成绩占总成绩的5%,是根据学生在讨论区的活跃程度而产生的,请各位同学积极参与与授课内容相关的讨论。同学需在课程讨论区发帖和回帖至少5次才能够获得全部讨论分数,中间按正比例函数计算,水贴不记入总数。

(4)期末考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,题型为客观题,占总成绩的60%

完成全部的课程学习并成绩达标者,将被授予课程证书,其中60≤成绩<80者获得合格证书,成绩≥80者将获得优秀证书。电子版的课程结业证书免费,纸质版认证证书收费:100元/人。


参考资料

教材:

华东师范大学数学系,数学分析.4版,北京:高等教育出版社,2010.7.

参考文献:

[1]陈纪修,数学分析.2版,北京:高等教育出版社,2003.

[2]刘玉琏等,数学分析讲义.5版,北京:高等教育出版社,2008.5.

[3]谢惠民等,数学分析习题课讲义. 北京:高等教育出版社,2003.

[4]林群院士科学网博客:http://blog.sciencenet.cn/u/林群


常见问题

1.课程是免费的吗?

是的,数学分析课程目前是免费的。

2.课程结束后还可以观看教学视频吗?

为了方便更多的同学能够更加方便地参与到“数学分析”课程的学习,我们特意将教学视频在课程结束后仍旧开放给已经注册过的学生观看。