数学分析
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课程评价
spContent=《数学分析》是高校数学专业学生必修的一门专业基础课,是学好微分几何、微分方程、复变函数、实变函数、计算方法、概率论等后继课程的阶梯。《数学分析》课程重视数学理论的完整性和逻辑性。通过本课程的学习,不但可以培养学生抽象思维、逻辑推理的能力,而且能为数学其他课程的学习打下坚实的基础。
—— 课程团队
课程概述

《数学分析》是学习时间最长的一门数学专业基础课程。它适合数学与应用数学、统计学、应用统计学、信息与计算科学等数学专业学生学习,以及非数学专业中对数学有较高要求的学生和数学爱好者来学习。

《数学分析》课程包括实数理论、极限与连续、一元函数微积分、无穷级数、多元函数微积分等众多内容。本门课程学程为3个学期。为了便于学习,我们将《数学分析》分为3个小课程,分别是“数学分析(一)”、“数学分析(二)”和“数学分析(三)”。“数学分析(一)”的教学内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数与微分、微分中值定理和实数完备性共计7章内容,学习时间为14周。

“数学分析(一)”课程的教学目的是通过系统学习和相关的数学训练,使学生掌握一元函数极限、连续性和可微性等方面的系统知识和数学的基本思想方法,培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力,逐步提高数学修养和数学学习能力,为进一步学习后继课程打下坚实的基础。

安阳师范学院数学与统计学院历史悠久,师资力量雄厚。本课程依托我院省级精品课程,以华东师范大学数学系编写的《数学分析》第四版为教材,由“分析类课程”省级优秀教学团队精心打造而成。主讲教师用精炼的语言、生动的视频对课程中提炼的知识点进行详细讲解。和我们一起进行这次数学之旅,你一定会有所收获!


授课目标
《数学分析》是数学系最重要的基础课.它对后继课程与近代数学的学习与研究具有非常深远的影响和至关重要的作用。通过本课程的学习,使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、基本方法,培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力,为后继课打下坚实的基础。
课程大纲

第一章 实数与函数

      1.实数

      2.确界原理

      3.函数概念

      4.具有某些特性的函数

应重点掌握的内容正确理解和掌握函数概念,了解函数的各种表示法和记号;理解和掌握函数的四则运算与复合,会求函数的定义域;掌握反函数的定义和图象等;理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念;熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质,能熟练地绘出它们的草图;  了解几个常用的非初等函数的例子。

 

第二章 数列极限

      1.数列极限的概念

      2.收敛数列的性质

      3.数列极限存在的条件

应重点掌握的内容理解和掌握数列极限与函数极限的概念,掌握它们的有关性质;理解和掌握无穷小量与无穷大量的概念,掌握它们的有关性质;能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理与两个重要极限,熟练地求极限。 

 

第三章 函数极限

      1.函数极限的概念

      2.函数极限的性质

      3.函数极限存在的条件

      4.两个重要的极限

      5.无穷小量与无穷大量

应重点掌握的内容理解函数不同过程的极限存在和不存在的分析定义;掌握函数极限的Cauchy准则及否命题;理解和掌握函数极限的性质;会应用两个重要极限和无穷小量定理求函数极限。

 

第四章 函数的连续性

      1.连续性概念

      2.连续函数的性质

      3. 初等函数的连续性

应重点掌握的内容理解和掌握函数在一点连续和不连续的定义,掌握函数间断点的判定方法;理解闭区间上的连续函数的性质的几何解释;理解和掌握一致连续的定义。

 

第五章 导数和微分

    1.导数的概念

    2.求导法则

    3. 含参量函数的导数

    4.高阶导数

    5.微分

应重点掌握的内容理解导数和微分的定义,掌握求各种函数一阶和高阶导数的方法。

 

第六章 微分中值定理及其应用

      1.拉格朗日定理和函数的单调性

      2.柯西中值定理和不定式的极限

      3.泰勒公式

      4.函数的极值与最值

      5.函数的凸性与拐点

      6.函数图象的讨论

应重点掌握的内容理解罗尔定理,拉格朗日定理,柯西中值定理的内容;掌握不定型极限的计算和泰勒公式的展开;掌握函数在区间上性质的判定方法。

 

第七章 实数的完备性

      1.关于实数集完备性的基本定理

        (1)区间套定理

        (2)聚点定理与有限覆盖定理

应重点掌握的内容了解区间套定理、柯西收敛准则,聚点定理和有限覆盖定理;了解闭区间上连续函数性质的证明;了解实数完备性基本定理的等价性、上下极限。


预备知识

高中数学知识

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成随堂测试、完成单元测验题、完成单元作业、参与课程讨论、参加期末考试。

课程学习成绩由4部分构成:

(1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为客观题,在规定时间内可以提交3次,选取最高分。所有的单元测试分数占总成绩的20%。

(2)单元作业:第2-6章结束后会有单元作业,题型为主观题,占总成绩的20%作业成绩由互评产生,需要按时提交作业,同时参与并完成作业互评才能够获得全部作业分数:完成作业互评(即评阅并为其他同学的作业打分)即可获得作业分数的100%;参与但未完成全部互评,可获得作业分数的80%;未参与互评,只能获得作业分数的50%。每位学生的作业随机分配给5名同学,学生作业成绩为作业各计分项去掉最小和最大值后的平均值之和。

(3)课程讨论:网上讨论成绩占总成绩的20%,是根据学生在讨论区的活跃程度而产生的,请各位同学积极参与与授课内容相关的讨论。同学需在课程讨论区发帖和回帖至少5次才能够获得全部讨论分数,中间按正比例函数计算,水贴不记入总数。

(4)期末考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,题型为客观题,占总成绩的40%

完成全部的课程学习并成绩达标者,将被授予课程证书,其中60≤成绩<80者获得合格证书,成绩≥80者将获得优秀证书。电子版的课程结业证书免费,纸质版认证证书收费:100元/人。


参考资料

教材:

华东师范大学数学系,数学分析.4版,北京:高等教育出版社,2010.7.

参考文献:

[1]陈纪修,数学分析.2版,北京:高等教育出版社,2003.

[2]刘玉琏等,数学分析讲义.5版,北京:高等教育出版社,2008.5.

[3]谢惠民等,数学分析习题课讲义. 北京:高等教育出版社,2003.

[4]林群院士科学网博客:http://blog.sciencenet.cn/u/林群

常见问题

1.课程是免费的吗?

是的,数学分析课程目前是免费的。

2.课程结束后还可以观看教学视频吗?

为了方便更多的同学能够更加方便地参与到“数学分析”课程的学习,我们特意将教学视频在课程结束后仍旧开放给已经注册过的学生观看。